Đề thi HSG Toán 9 năm 2017 Phòng GD&ĐT Vĩnh Lộc

Nhằm giúp cho học sinh ôn tập, luyện tập và vận dụng các kiến thức vào việc giải các bài tập được tốt hơn mời các bạn tham khảo Đề thi HSG Toán 9 năm 2017 Phòng GD&ĐT Vĩnh Lộc dưới đây.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi HSG Toán 9 năm 2017 Phòng GD&ĐT Vĩnh LộcUBND HUYỆN VĨNH LỘCPHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOKỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2016 - 2017ĐỀ THI MÔN: TOÁNThời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)Bài 1: (4,0 điểm)Cho biểu thức P =3x  9 x  3x x 2x 1x 2x 2x 1a. Tìm ĐKXĐ và rút gọn Pb. Tìm x để P < 0Bài 2: (4,0 điểm)a. Giải phương trình: x 2  7 x  6 x  5  30 .b. Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng1 1 4a b a  b  .Bài 3: (4,0 điểm)a. Tìm số tự nhiên n sao cho A = n 2 + n + 6 là số chính phươngb. Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x 2  y 2  z 2Chứng minh A = xy chia hết cho 12Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AA, BB, CC.a. Chứng minh ΔACC  ΔABBb. Trên BB lấy M, trên CC lấy N sao cho   ANB  900 . Chứng minh rằng AM = AN.AMC c. Gọi S, S lần lượt là diện tích của tam giác ABC và tam giác ABC.Chứng minh rằng cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C  1 SSBài 5: (2,0 điểm)Cho x, y là các số dương thỏa mãn x  y A  3x  4 y 285x 7 y34. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:35ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9BàiNội dung cần đạtĐiểmCâu a: (2,0 điểm)- Tìm được ĐKXĐ: x  0, x  10,5- Ta có3x  9 x  3x x 21x 1x23x  3 x  3( x  2)( x  1)0,5x 2x 1( x  1)( x  1)( x  2)( x  1)( x  2)( x  2)( x  2)( x  1)3x  3 x  3  x  1  x  4( x  2)( x  1)0,5x3 x 2( x  2)( x  1)( x  2)( x  1)( x  2)( x  1)x 10,5x 1Câu b: (2,0 điểm)- Ta có: P < 0x 1x 10,50 x  1  0(do x  1  0) x 11,0 x 1- Kết hợp với ĐKXĐ ta được: Với 0  x  1 thì P < 0.0,5Câu a: (2,0 điểm)Giải phương trình: x 2  7 x  6 x  5  30 .- ĐKXĐ x  5 .0,25- Ta cóx 2  7 x  6 x  5  30 x 2  8 x  16  x  5  6 x  5  9  0  x  4 22x53  0- Vì x  42 0;2x  5  3  0 nên1,0 x  4  2  02 x5 3  0x  4  0 x5 3 00,5 x40,25(thỏa mãn ĐKXĐ)- Nghiệm của phương trình đã cho là x = 42Câu b: (2,0 điểm)11Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng  a  b  .     4a b0,75- Ta có1 1a b   2 b aa b a  b  .- Vì a,b >0.nên áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dươnga ba b 2 . 2b ab a0,750,51 1- Do đó  a  b  .     4a bCâu a: (2,0 điểm)Tìm số tự nhiên n sao cho A = n 2 + n + 6 là số chính phương- Để A là số chính phương thì A = n 2 + n + 6 = a2 (a  N ) 4n 2  4n  24  4a 230,250,5- Ta có: n 2 + n + 6 =a2   2a    2n  1  2322  2a  2n  1 .  2a  2n  1   230,5- Vì a, n là các số tự nhiên nên (2a +2n +1) là số tự nhiên và2a + 2n + 1 > 2a – 2n -1. Do đó0,25 2a  2n  1  23 2a  2n  1  1 4a  24 4n  20a  6n  50,5- Vậy n = 5Câu b: (2,0 điểm)Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x 2  y 2  z 2Chứng minh A = xy chia hết cho 121,0- Xét phép chia của xy cho 3Nếu xy không chia hết cho 3 thì x  1(mod 3) y  1(mod 3) x 2  1(mod 3) 2 y  1(mod 3)(Vô lí) z 2  x 2  y 2  2(mod 3)Vậy xy chia hết cho 3 (1)- Xét phép chia của xy cho 4Nếu xy không chia hết cho 4 thì x  1(mod 4) y  1(mod 4) x 2  1(mod 4)TH1:  2 y  1(mod 4) z 2  x 2  y 2  2(mod 4)0,5(vô lí )TH2: Trong hai số x,y một số chia 4 dư 2, một số chia 4 dư 1 hoặc -1.Không mất tính tổng quát giả sử x  1(mod 4) y  2(mod 4) x 2  1(mod 8)( vô lí) 2 y  4(mod 8) z 2  x 2  y 2  5(mod 8)0,5- Vậy xy chia hết cho 4 (2)- Từ (1) và (2): Vậy xy chia hết cho 12ABCNM4BACCâu a (2,0 điểm): Chứng minh ΔACC  ΔABB- Xét ΔACC;ΔABB cóGóc A chung2,0 B  C  90 0Suy ra: ΔACC  ΔABBCâu b (2,0 điểm): Chứng minh AM = AN.0,5- Xét AMC vuông tại M đường cao MBAM 2  AB .AC0,5- Xét ANB vuông tại N đường cao NC0,5 ...