Đề Thi Thử vào 10 ĐHKHTN Năm 2011 Môn : Toán

Câu 2.1) Cho n là số nguyên dương và d là một ước nguyên dương của 3n2 . Chứng minh rằng n2  dlà số chính phương khi và chỉ khi d  3n22) Với các số a, b, c thỏa mãn điều kiện a2  b2  4c2  ab  3  5c a  b . Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thức P  ab  bc  caCâu 3. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Đường thẳng d tiếp xúc với (O) tại A. I là một điểmcố định trên đoạn AB. DE là...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề Thi Thử vào 10 ĐHKHTN Năm 2011 Môn : ToánLê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà NộiTrường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Đề Thi Thử Lớp 9 Năm 2011Trường THPT Chuyên KHTN Môn : Toán (Vòng 2-Đợt 3) Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đềCâu 1.1) Giải phương trình 3x 2  7x  2  4   3x  1  x  2  4x  22) Giải hệ phương trìnhxyz  y  2  yzxyz  z  3  2xzxyz  x  1  3xyCâu 2.1) Cho n là số nguyên dương và d là một ước nguyên dương của 3n 2 . Chứng minh rằng n 2  dlà số chính phương khi và chỉ khi d  3n 22) Với các số a, b, c thỏa mãn điều kiện a 2  b 2  4c 2  ab  3  5c  a  b  . Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thức P  ab  bc  caCâu 3. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Đường thẳng d tiếp xúc với (O) tại A. I là một điểmcố định trên đoạn AB. DE là dây cung thay đổi của (O) luôn qua I . BD, BE cắt d lần lượt tại M,N.1) Chứng minh rằng tứ giác DEMN là tứ giác nội tiếp.2) Chứng minh rằng AM.AN không đổi.3) Chứng minh rằng tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác DEMN thuộc một đường thẳng cốđịnh.Câu 4. Trên đường tròn có 25 vị trí được viết các số gồm 12 số 1 và 13 số -1. Mỗi bước ta thựchiện như sau: Với mỗi hai cặp số ở vị trí kề nhau trên đường tròn, ta tính tổng giá trị của chúngvà viết số vừa tính vào giữa hai số kề nhau đó trên đường tròn; sau đó xóa tất cả 25 số ban đầuta thu được 25 số mới. Chứng minh rằng sau 100 bước, một trong các số trên đường tròn có giátrị nhỏ hơn 1028Tài Liệu Ôn Thi Vào 10 https://sites.google.com/site/letrungkienmathLê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội GiảiCâu 1.1) Giải phương trình 3x 2  7x  2  4   3x  1  x  2  4x  2 1Đk : x   3Đặt 3x  1  a; x  2  bTa có ab  4  a  b   2  a 2  b 2    a  b  ab  4  2a  2b   0  a  b  a  2  b  2   0 1  Với a  b  3x  1  x  2  3x  1  x  2  x  2  Với a  2  3x  1  2  x  1  Với b  2  x  2  2  x  2 1Vậy nghiệm của phương trình là x  ; x  1; x  2 22) Giải hệ phương trìnhxyz  y  2  yzxyz  z  3  2xzxyz  x  1  3xy  y  2  yz 1  x  x  1   z  3  xz  2  y    x  1 y  2  z  3  x y z  1  0   y  2 2 2 2  z  3  x  1  xy  3  z   x  1 Vậy nghiệm của hệ phương trình là  y  2 z  3 Tài Liệu Ôn Thi Vào 10 https://sites.google.com/site/letrungkienmathLê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà NộiCâu 2.1) Cho n là số nguyên dương và d là một ước nguyên dương của 3n 2 . Chứng minh rằng n 2  dlà số chính phương khi và chỉ khi d  3n 2  Nếu d  3n 2 thì ta có n 2  d  4n 2 là số chính phương.  Nếu n 2  d là số chính phương. Ta giả sử n 2  d  a 2 d  1Nếu d và n không có ước chung ngyên tố thì  từ đó ta có n  1;d  3 thỏa mãn d  3n 2 d  3Nếu d và n có ước chung nguyên tố là k thì a  k từ đó n 2 ;d;a 2 đều chia hết cho k 2 , từ đó ta rútgọn sẽ được phương trình n 0 2  d 0  a 0 2 với d 0 và n 0 không có ước chung nguyên tố từ đó suyra n 0  1; d 0  3 . Từ đó nếu n 2  d là số chính phương thì d  3n 22) Với các số a, b, c thỏa mãn điều kiện a 2  b 2  4c 2  ab  3  5c  a  b  . Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa biểu thức P  ab  bc  caTa có 2a 2  b2  4c 2  ab  3  5c  a  b    a  b   4c  a  b   4c 2  3  ab  bc  ca 2  a  b  c   3  ab  bc  ca ab  bc  ca  3Dấu bằng xảy ra khi a  b  cCâu 3.Tài Liệu Ôn Thi Vào 10 https://sites.google.com/site/letrungkienmathLê Trung Kiên THPT Nguyễn Du-Thanh Oai-Hà Nội1) Ta có EDB  EAB (góc nội tiếp cùng chắn một cung)EAB  ANE (cùng phụ với NAE ). Từ đó EDB  ANE , nên tứ giác DEMN là tứ giác nội tiếp.2) Giả sử đường tròn qua D, E, M, N cắt đoạn AB tại H và cắt tia đối của tia AB tại K.Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có AB2  BE.BN , do tứ giác HENK là tứ giác nộitiếp nên BE.BN  BH.BK . Từ đó ta có : BH.BK  BA 2Tứ giác ADBE là tứ giác nội tiếp nên ID.IE  IA.IBTứ giác DHEK là tứ giác nội tiếp nên ID.IE  IH.IK . Từ đó ta có IH.IK  IA.IB BH BA BATừ BH.BK  BA 2    x  BH  BA.x; BK  BA BK xIH.IK  IA.IB   BI  BH  BK  BI   AB  AB.BI  BI  AB.x    BI    BI2  AB2  AB.BI.x  x  xTài Liệu Ôn Thi Vào 10 https://sites.google.com/site/letrungkienmathLê Trung Kiên TH ...