Định lý nhúng cho không gian Sobolev có trọng và ứng dụng

Bài viết tập trung nghiên cứu sự tồn tại và tính trơn của nghiệm của phương trình elliptic suy biến và định lý nhúng cho không gian Sobolev có trọng và ứng dụng.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Định lý nhúng cho không gian Sobolev có trọng và ứng dụngPhạm Thị Thủy và ĐtgTạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ185(09): 83 - 87ĐỊNH LÝ NHÚNG CHO KHÔNG GIAN SOBOLEV CÓ TRỌNG VÀ ỨNG DỤNGPhạm Thị Thủy1, Lê Thị Hồng Hạnh21Trường Đại học Sư phạm - ĐH Thái Nguyên, 2Trường Đại học Hoa LưTÓM TẮTTrong bài báo này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và tính trơn của nghiệm của phương trìnhelliptic suy biến  2u 2u2fx g  u   0 trong , 2y 2 xu  0 trên ,ở đây  là một miền bị chặn với biên trơn trong không gian ¡ 2 , f , g là các hàm cho trước.Kết quả của bài báo là sự tổng quát định lý nhúng trong N. M. Trí [N. M. Tri, Critical Sobolevexponent for hypoelliptic operators, Acta Mathematic Vietnamica, Vol. 23 (1998), no. 1, 83 – 94]và sự tồn tại nghiệm, tính trơn của nghiệm trong D. T. Luyen, N. M. Tri [D. T. Luyen and N. M.Tri, On boundary value problem for semilinear degenerate elliptic differential equations, AIPConf. Proc. 1450, 13 (2012), 13 - 17].Từ khóa: Bài toán biên, số mũ tới hạn, giá trị tới hạn, nghiệm không tầm thường, định lý nhúngĐịnh lý nhúng Sobolev cho không gian có trọngGiả sử  là miền giới nội trong ¡ 2 với biên trơn và 0  . Ta xét bài toán sau: *  2u 2u2 2  f  x  2  g  u   0 trong ,y xu  0 trên ,trong đóg  u   C  R  , g  0   0, f  x   C 2  R  .121uv   f  x , f  x .yy  L2   pĐịnh nghĩa 2. Không gian S1,0   được gọi làS1p    .Đặt G  u    g  t  dt và   1 ,2  là vector0pháp tuyến đơn vị ngoài trên  .Định nghĩa 1. Ta ký hiệu S1p   ,1  p  là không gian các hàm u  Lp   thỏa mãn2Định nghĩa 3. Hàm u  S1,0   được gọi lànghiệm yếu của Bài toán (1) nếu đẳng thức:u u 2 x x dxdy   f  x  y y dxdy   g u  dxdy,thỏa mãn với mọi   C0    .Định lý 1. S1p    là không gian Banach,uu Lp    , f  x   Lp    .xyS12   là không gian Hilbert.Chuẩn trong S1p   ,1  p   , được địnhnghĩa như sau:1p  p u ppu  dxdy  .u S p       u  f  x1xy   2Với p  2 ta có tích vô hướng trong S1  như sau:Chứng minh. xem [3]Trong phần tiếp theo ta xét một trường hợp2kcủa hàm f 2  x   x 1    x   trong đó  x   C1 (¡ ),  x   1, x   x   0.Khi đó ta có kết quả sauĐịnh lý 2. (Định lý nhúng Sobolev cho khônggian có trọng). Giả sử 1  p  k  2 . Khi đó k  2 pp1,0STel: 0913 005027, Email: p.thuysptn@gmail.com2bao đóng của C01   trong không gianu*u v ,  x x  L2    u, v S     u, v  L        Lk  2  p   với  là số dương đủ nhỏ.83Phạm Thị Thủy và ĐtgTạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆChứng minhTa chứng minh với mỗi u  x, y   C01   , ta u  x, y uL k  2 pC upS1,0Ta chứng minh (2) đúng với p =1,LấysốM>0đủ   M , M    M , M .Do vậyu t , y  dt ,  x, y   .tMNênTương tự ta có:Mu  x, y  Mu x, t  dt ,  x, y  t u  x, y  M u  x, t  dt  ,   0.  M tNên ta có: u  x, y 1dxdy M u  M u     x, t  dt     t , y  dt   dxdyt M  M   M   M t M M u M u   x, t  dt  dx.     t , y  dt  dyttM  MM  MMM M MM M uu x, y  dxdy.     x, y  dy  dx.xyM  MÁp dụng bất đẳng thức Hölder ta có: M u M  M y  x, y  dy  dxM M  k   x 1 M1   x1 C2 , 0   M1   x11, C2  0.k 11, khi đó tích phânk 1dx là hội tụ.Do vậy ta có:1dxdy  C | x |k 1    x uyL1   uxÁp dụng bất đẳng thức Young ta có:uL1C |x|ku1   xy1L1   ux11 L1   uu. C  | x |k 1    x y L1    x L1    Đối với p bất kỳ lấy | u | ,   1 thay vàocông thức trên và áp dụng bất đẳng thứcHölder ta có:L1 C | x |k 1    x  u1dx M M u k x, y   dx  .  x 1    x    M y   M84x 1uDo vậyMM kM u  x, y M1   x1Do đó với 0   dx M , M  , hàm số 1    x  là liên tục đều,nên x0   M , M  đểmin 1    x   1    x0   C1  0. M , M u t , y  dt ,  x, y   .tM1    x11Ta có   x   C1  ¡  ,  x   1 , nên trênMM M u k   x 1    x   x, y   dx  .  M y   Mđểxu  x, y  M Mu x, y  dxdy xlớnKhi đó ta có:u  x, y  M dxdy  M  k   x 1 M 2.M1 có bất đẳng thức sau: k  2  p 185(09): 83 - 87C u 1ux 1C uuy 1 ...