Giáo trình Lý thuyết thế trong địa vật lý: Phần 2 - ĐHQG TP.HCM

Phần 2 giáo trình "Lý thuyết thế trong địa vật lý" tiếp tục giới thiệu đến bạn đọc nội dung phần còn lại chương III và chương IV. Phần này giới thiệu đến bạn đọc nội dung về các bài toán biên, hàm cầu và các tính chất. Giáo trình được biên soạn kết hợp giữa lý thuyết và bài tập sau mỗi chương. Giáo trình là tài liệu dùng cho sinh viên năm 3 khoa Vật lý, học viên cao học, nghiên cứu sinh bộ môn Vật lý trái đất và bạn đọc khác quan tâm đến vấn đề này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Lý thuyết thế trong địa vật lý: Phần 2 - ĐHQG TP.HCM CHÖÔNG III CAÙC BAØI TOAÙN BIEÂN§1 Ba baøi toaùn bieân cô baûn. Caùc baøi toaùn bieân trong lyù thuyeát theá nhaèm xaùc ñònh haøm ñieàu hoøa thoûamaõn moät soá ñieàu kieän bieân. Caùc haøm ñieàu hoøa ôû ñaây trong thöïc teá laø theá cuûa moät tröôøng löïc naøo ñoù. Tuøytheo ñieàu kieän bieân maø ngöôøi ta chia ra laøm ba loaïi baøi toaùn bieân : + Baøi toaùn bieân thöù nhaát, coøn goïi laø baøi toaùn Dirichlet. Coù theå phaùt bieåu : Cho tröôùc haøm V xaùc ñònh taïi moïi ñieåm treân beà maët cuûa maët kín σ . Caànphaûi tìm haøm V(x,y,z), ñieàu hoøa trong mieàn giôùi haïn bôûi maët σ vaø coù giaù trò treânmaët naøy baèng giaù trò V cho tröôùc. Ta caàn phaân bieät baøi toaùn trong, töùc tìm haøm ñieàu hoøa trong mieàn τ giôùihaïn bôûi maët σ vaø baøi toaùn ngoaøi laø tìm haøm ñoù trong mieàn voâ haïn ôû khoâng gianbeân ngoaøi maët σ . + Baøi toaùn thöù hai, coøn goïi laø baøi toaùn Neumann. ñaët ra nhieäm vuï sau : dV - Treân maët σ , cho tröôùc giaù trò ñaïo haøm cuûa haøm ñieàu hoøa caàn tìm dnV(x,y,z). Caàn phaûi tìm haøm naøy trong mieàn giôùi haïn bôûi maët σ . Töông töï ta cuõngcaàn phaân bieät hai tröôøng hôïp trong vaø ngoaøi ñoái vôi maët σ . + Baøi toaùn thöù ba, coøn goïi laø baøi toaùn hoãn hôïp nhaèm xaùc ñònh haøm ñieàu hoøa dVtheo giaù trò cho tröôùc treân maët σ laø moät toå hôp tuyeán tính αV + . dn Gioáng nhö treân, ta cuõng coù baøi toaùn trong vaø ngoaøi. Cuõng caàn chuù yù raèng,haøm ñieàu hoøa buoäc phaûi thoûa ñieàu kieän chính quy ôû voâ cöïc. Trong ngaønh troïng löïc vaø thuyeát veà hình daïng Traùi ñaát, theá haáp daãn laø haømñieàu hoøa ôû khoâng gian ngoaøi vaø theo ñieàu kieän bieân, ngöôøi ta chæ coù theå xaùc ñònh ôûkhoâng gian ngoaøi. Vì noùi chung, chuùng ta gaêp baøi toaùn ngoaøi (beân trong Traùi ñaâttheá khoâng ñieàu hoøa, vì khoâng thoûa phöông trình Laplace. Ta haõy ñi saâu töøng baøitoaùn : 1. Baøi toaùn bieân thöù nhaát. Muïc ñích laø xaùc ñònh taïi moïi ñieåm P(x, y, z) ôû khoâng gian ngoaøi một haømV(x, y,z) ñieàu hoøa ôû ngoaøi maët σ , chính qui ôû voâ cöïc vaø coù caùc giaù trò treân maët σbaèng ñuùng taäp hôïp lieân tuïc caùc V cho tröôùc. 54 Theo (2.27) ta coù coâng thöùc Green :   1   d   1 1 dV − V   d σ r V ( p) = − ∫∫  4π σ  r dn dn  (3.1)   dV r vaãn laø khoaûng caùch töø ñieåm chaïy M ñeán ñieåm quan saùt P. Giaù trò dnkhoâng ñöôïc cho tröôùc neân baây giôø ta phaûi tìm caùch loaïi noù ra khoûi tích phaân. Haøm U laø haøm ñieàu hoøa ngoaøi σ vaø chính qui ôû voâ cöïc. Khi haøm Uvaø V laø caùc haøm ñieàu hoøa thì coâng thöùc Green thöù hai theo (2.15a) coù daïng : 1  dV dU  0=− 4π ∫∫σ U dn −V dσ dn  (3.2) Coäng töøng veá ñaúng thöùc (3.1) vaø (3.2) ta coù : 1  1  dV d 1  V ( p) = ∫∫σ  r + U  dn − V dn  r + U  dσ (3.2a) 4π 1 1 Kyù hieäu G = + U vaø gaùn cho U ñieàu kieän sau : treân maët σ , U = − . Ta cho r rraèng khaû naêng xaây döïng haøm U nhö vaäy laø coù thöïc teá. Nhö vaäy tích phaân chöùa dV seõ baèng 0 vaø : dn 1 ...