Giáo trình : GIẢI TÍCH MẠNG part 2

k2 = f(x0 + b1h, y0 + b2k1)h k3 = f(x0 + b3h, y0 + b4k2)h k4 = f(x0 + b5h, y0 + b6k3)h Tiếp theo thủ tục giống như dùng cho lần xấp xỉ bậc hai, hệ số trong phương trình (2.8) thu được là: a1 = 1/6; a2 = 2/6; a3 = 2/6; a4 = 1/6. Và b1 = 1/2; b2 = 1/2; b3 = 1/2; b4 = 1/2; b5 = 1; b6 = 1. Thay thế các giá trị vào trong phương trình (2.8), phương trình xấp xỉ bậc bốn Runge-Kutta trở thành.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình : GIẢI TÍCH MẠNG part 2 GIẢI TÍCH MẠNG k2 = f(x0 + b1h, y0 + b2k1)h k3 = f(x0 + b3h, y0 + b4k2)h k4 = f(x0 + b5h, y0 + b6k3)hTiếp theo thủ tục giống như dùng cho lần xấp xỉ bậc hai, hệ số trong phương trình (2.8)thu được là: a1 = 1/6; a2 = 2/6; a3 = 2/6; a4 = 1/6.Và b1 = 1/2; b2 = 1/2; b3 = 1/2; b4 = 1/2; b5 = 1; b6 = 1. Thay thế các giá trị vào trong phương trình (2.8), phương trình xấp xỉ bậc bốnRunge-Kutta trở thành. y1 = y 0 + 1 ( k1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) 6Vớ i k1 = f(x0,y0)h k h k 2 = f ( x0 + , y 0 + 1 )h 2 2 k2 h k 3 = f ( x0 + , y 0 + )h 2 2 k 4 = f ( x0 + h, y 0 + k 3 )hNhư vậy, sự tính toán của ∆y theo công thức đòi hỏi sự tính toán các giá trị của k1, k2,k3 và k4 :∆y = 1/6(k1+2k2+2k3+k4)Sai số trong sự xấp xỉ là bậc h5.Công thức xấp xỉ bậc bốn Runge-Kutta cho phép giải đồng thời nhiều phương trình viphân. dy = f ( x, y , z ) dx dz = g ( x, y , z ) dxTa co: y1 = y0+1/6 (k1+2k2+2k3+k4) z1 = z0+1/6 (l1+2l2+2l3+l4)Với: k1= f(x0,y0,z0)h k l hk 2 = f ( x0 + , y 0 + 1 z 0 + 1 )h 2 2 2 k l hk 3 = f ( x0 + , y 0 + 2 z 0 + 2 )h 2 2 2k4 = f(x0 + h, y0 + k3,z0 + l3)h l1 = g(x0,y0,z0)h k l h l 2 = g ( x0 + , y 0 + 1 z 0 + 1 )h 2 2 2 k l h l3 = g ( x0 + , y 0 + 2 z 0 + 2 )h 2 2 2 l4 = g(x0 + h, y0 + k3,z0 + l3)h Trang 17 GIẢI TÍCH MẠNG 2.2.5. Phương pháp dự đoán sửa đổi.Phương pháp dựa trên cơ sở ngoại suy, hay tích phân vượt trước, và lặp lại nhiều lầnviệc giải phương trình vi phân. dy = f ( x, y ) (2.9) dx Được gọi là phương pháp dự đoán sửa đổi. Thủ tục cơ bản trong phương pháp dự dyđoán sửa đổi là xuất phát từ điểm (xn,yn) đến điểm (xn+1, yn+1). Thì thu được từ dx n +1phương trình vi phân và sửa đổi giá trị yn+1 xấp xỉ công thức chính xác. Loại đơn giản của công thức dự đoán phương pháp của Euler là:yn+1 = yn + yn’h (2.10) dy yn = Với: dx nCông thức chính xác không dùng trong phương pháp Euler. Mặc dù, trong phương phápbiến đổi Euler giá trị gần đúng của yn+1 thu được từ công thức dự đoán (2.10) và giá trịthay thế trong phương trình vi phân (2.9) chính là y’n+1. Thì giá trị chính xác cho yn+1thu được từ công thức biến đổi của phương pháp là: h y n +1 = y n + ( y n +1 + y n ) (2.11) 2Giá trị thay thế trong phương trình vi phân (2.9) thu được có sự đánh giá chính xác hơncho y’n+1, nó luôn luôn thay thế trong phương trình (2.11) làm cho yn+1 chính xác hơn.Quá trình tiếp tục lặp lại cho đến khi hai giá trị tính toán liên tiếp của yn+1 từ phươngtrình (2.11) trùng với giá trị mong muốn chấp nhận được.Phương pháp dự đoán biến đổi kinh điển của Milne. Dự đoán của Milne và công thứcbiến đổi, theo ông là: 4h y n0 )1 = y n −3 + (2 y n − 2 − y n −1 +2 y n ) ( + 3 h y n +1 = y n −1 + ( y n −1 +4 y n + y n +1 )Và 3 y n +1 = f ( x n +1 , y n0 )1 )Với: ( +Bắt đầu của sự tính toán đòi hỏi biết bốn giá trị của y. Có thể đã tính toán bởi Runge-Kutta hay một số phương pháp số trước khi sử dụng công thức dự đoán sửa đổi củaMilne. Sai số trong phương pháp là bậc h5.Trong trường hợp tổng quát, phương pháp mong muốn chọn h đủ nhỏ nên chỉ vài lầnlặp là đòi hỏi thu được yn+1 hoàn toàn chính xác như mong muốn. Phương pháp có thể mở rộng cho phép giải một số phương trình vi phân đồngthời. Phương pháp dự đoán sửa đổi là áp dụng độc lập đối với mỗi phương trình vi phânnhư một phương trình vi phân đơn giản. Vì vậy, thay thế giá trị cho tất cả các biến phụthuộc vào trong mỗi phương trình vi phân là đòi hỏi sự đánh giá đạo hàm tại (xn+1, yn+1). Trang 18 GIẢI TÍCH MẠNG2.3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC CAO.Trong kỹ thuật trước đây mô tả cho việc giải phương trình vi phân bậc nhất cũng có thểáp dụng cho việc giải phương trình vi phân bậc cao bằng sự đưa vào của biến phụ. Vídụ, cho phương trình vi phân bậc hai. d2y dy a 2 + b + cy = 0 dx dx dyVới điều kiện ban đầu x0, y0, và thì phương trình có thể được viết lại như hai dx 0phương trình vi phân bậc nhất. dy = y dx by + cy ...