Giáo trình Không gian tôpô - độ đo và lý thuyết tích phân (Giải tích III): Phần 2

Giáo trình có kết cấu gồm 6 chương, phần 2 giáo trình gồm nội dung chương 3 trở đi, trình bày về lý thuyết độ đo và tích phân hiện đại. Giáo trình dành cho sinh viên năm 3 khoa Toán của các trường Đại học sư phạm. Mời bạn đọc tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Không gian tôpô - độ đo và lý thuyết tích phân (Giải tích III): Phần 2 CHƯƠNG III ĐỘ ĐO VÀ HÀM Đ O ĐƯỢC Ạ. Đ Ộ Đ O SI. ĐẠI SỐ VÀ ơ - ĐẠI SỐ TẬP H ộ p Ì - Đại số tập hợp. Định nghía 1. Cho X là một t ậ p hợp tùy ý k h á c rỗng.Một lớp £ các tập con của X thỏa m ã n các điêu kiện sauđược gọi là một đai số tập hợp. b) A e e => CA G e. cj A, B e e => AUB e t Bằng quy nạp, dễ d à n g thấy r ằ n g điểu k i ệ n c) đ ú n g chomọi họ hữu hạn các tập trong t tảc là n ế u Aị, A , 2 An ne e thì UAj G e. i=l BỔ đè 1. & là một đ ạ i số các t ậ p con của X khi và chỉkhi & thỏa mãn các điều kiện a, b v à c: c) A, B e t => AnB e e Chứng minh. Giả sử & là một đ ạ i số các tập con củaX, ta sẽ chảng tỏ r à n g & thỏa m ã n điêu k i ệ n c. Cho A, Blà những tập tùy ý thuộc s. Ta luôn có:86 A n B = CC(A n B) = C(CA u CB). vì £ là một đại số tập hợp nên CA CB £ s (điều kiệnb) do đó CA u CB G é (điêu kiện c). Một lần nữa ápdụng a) suy ra C(CA u CB) e s, do đò A n B efc. Ngược lại, giả sử rằng & thỏa mãn các điêu kiện a, b,c. Để chứng tỏ & là một đại số ta sẽ chỉ ra rằng & thỏaman điều kiện c). Cho A, B là những tập tùy ý thuộc £ , taluôn có. A u B = CC(A u B) = C(CA n CB) Từ b) suy ra. CA, CB G g. do đtí CA nCB e £ (điêukiện c). Một i ọ n nữa do điêu kiện a) C(CA nCB) G&, dođổ A UB e e. Bổ đè 2. Giao của một họ đại số các tập con của Xcũng là một đại sò các tập con của X. Chứng minh. Cho Sj, i 6 ì là những đại số các tập concủa X. Đặt % = n & . Vì £ j là đại số các tập con của X ( ieinên X E £ j , Vie ì {điều kiện a), do đó X E ng, = £ iei • Nếu A e & thì CA G &i Vi G ì, do đố CA e n e,=e. iG! Nếu A, B e & thì AuB e £ j V i e l , do đổ AuBe ne, iel= t . Vậy 6 thỏa mãn các điểu kiện a, b, c, £ là một đạisố. Cho A là một lớp tùy ý các tập con của X. Nếu kí hiệuíP : = (RX) là lớp tất cả các tập con của X, thì p là mộtđại số , Í P D À. Đặt KỊA) = nựỉ): (t>& đại SỔ D An Theo bổ đè 2 %{ k 2. Đại số c á c gian trong R . Trong không gian các số thực R ta xét một lớp 7 cáckhoảng có dạng: : v [a, b], [a,b), (a,b], (a, b), [a, +00), (a, +00), (-00, a),(-00,a), (-00, +00). Quy ước thêm rằng 0 e 7. k k Trong không gian R (k > 1), ta gọi tập hợp A c Rcó dạng A = lị X I 2 X ... X I , Ij e k 7 là một gian Kí hiệu s là lớp tất cả các tập biểu diễn được dướidạng hợp hữu hạn các gian rời nhau trong Bổ đề 3. £ là một đại số các tập con cừa R . k Chứng minh. Nêu chọn I j = I . . . = I 2 k = R e 7 thì k R = Rx R X ... X R G t k lẩn Điều kiện a) được thỏa mãn Cho A A G s. Theo định nghĩa lóp £ , A và B sẽ đượcbiểu diên dưới dạng: m V A = u Aị với Ai n Aị. = 0 , i * i i=l n B = u Aj với Aj n Aj. = 0, ị * y j=l k Aị, Aj là những gian trong R . Ta có. AnB = u (Ai n Aj) = u Ajj , Aij = Ai n Aj ij i,j Vì giao cừa hai gian là m ộ t . gian nên Àịj cũng là cácgian trong »R . Hơn nữa chúng còn là các gian rời nhau ktừng đôi một (nếu (ij) * thì i * i hoặc Chẳng88hạn í * i , ta sẽ có Aịj n Aj.j. c Aj n A j = 0 , do đó tacũng có Ajj n Aj.j. = 0)1 Vậy A n à G e và s thỏa m ã nđiểu kiện c của bổ đ ề 1. Bây giờ cho A e £ ta còn phải chứng tỏ r ằ n g CAe&.Muốn t h ế trước h ế t ta n h ậ n xét rằng nếu ì là m ộ t khoảngtrong R thì h i ể n n h i ê n R ì là hợp của k h ô n g qua haigian rời nhau trong R. G i ả sử A = I j X I X ... x . I . Ta 2 kcó: k CA = R A = [ nCÓ dạng A = u ...