Giáo trình tính toán khoa học - Chương 6

Giải sử ta cần tính tích phân xác định có dạng I = f ( x )dx . Nếu trongakhoảng [a,b] hàm f(x) có nguyên hàm là F(x), thì có thể dùng công thức NewtonLeibnitz để tính tích phân đã cho: I = F(b)-F(a).
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình tính toán khoa học - Chương 6 Chương 6 TÍNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN SỐ6.1 TÍCH PHÂN SỐ DỰA TRÊN NỘI SUY b Giải sử ta cần tính tích phân xác định có dạng I =  f ( x )dx . Nếu trong akhoảng [a,b] hàm f(x) có nguyên hàm là F(x), thì có thể dùng công thức Newton-Leibnitz đ ể tính tích phân đã cho: I = F(b)-F(a). Thí dụ 1. b 2 3/ 2  a3 / 2 ) I =  x dx = (b 3 a Trong Matlab đ ã cài đặt sẵn hàm INT để tìm nguyên hàm và tính tích phânxác đ ịnh theo phương pháp giải tích.  Hàm INT Cú pháp: int (S,v,a,b)  Giải thích. Hàm INT tính tích phân bất định và tích phân xác định theo phương pháp giải tích. Kết quả là một b iểu thức viết dưới dạng xâu. int(S): tính tích phân b ất định của biểu thức S viết d ưới dạng xâu. Biến lấy tích phân được Matlab xác định tự động từ xâu S. Nếu S là một hằng thì mặc định của biến lấy tích phân là x. int(S,’v’): tính tích phân bất định của biểu thức S viết dưới dạng xâu. Biến lấy tích phân là v. Thí dụ 2. %% Lấy tích phân theo biến u >> int(tan(u)) ans = log(cos(u)) >> int(tan(u),x) ans = 135 x*tan(u) %% Biến t không xác định >>int(tan(u),t) ??? Undefined function or variable t. >> syms x t; %% Lấy tích phân theo biến t >> int(tan(u),t) ans = t*tan(u) %% Lấy tích phân theo biến x >> int(k*x^2*(1 -x)^2) ans = (k*x^3*(6*x^2 - 15*x + 10))/30 int (S,a,b ): Tích phân xác định từ a đ ến b của biểu thức S viết dưới dạng xâu. Các cận tích phân là a và b là các giá trị hoặc biến vô hướng Biến lấy tích phân được xác định từ câu lệnh xâu S. int (S,’v’,a,b): Tích phân xác định từ a đ ến b của biểu thức S viết dưới dạng xâu. Các cận tích phân là a và b là các giá trị hoặc biến vô hướng. Biến lấy tích phân là v. Thí dụ 3. >> int(cos(u),1,2) ans = sin(2) - sin(1) >> int(cos(u+2*x),1,2) ans = sin(u + 4)/2 - sin(u + 2)/2 >> int(cos(u+2*x),u,1,2) ans = sin(2*x + 2) - sin(2*x + 1) Nó chung tính nguyên hàm trên máy tính rất khó. Ngay cả một số phầnmềm được xem là m ạnh nhất mạnh nhất cũng chỉ tính được nguyên hàm của mộtsố rất hạn chế hàm số. Thí dụ 4. >> int(‘sin(cos(x))’) 136 Warning: Explicit integral could not be found. ans = int(sin(cos(x)), x) >> int(‘tan(cos(x))’,0,pi) Warning: Explicit integral could not be found. ans = int(tan(cos(x)), x = 0..pi) Trong thực tế, rất nhiều bài toán ứng dụng cần sử dụng tích phân xác định.Thậm chí một số hàm số lấy tích phân m ới chỉ tìm được d ưới dạng bảng số. Vìvậy ta cần phải nghiên cứu các ph ương pháp tính gần đúng các tích phân xácđịnh với một sai số cho phép.6.1.1 Công thức hình thang Đầu tiên chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau bởi các điểm chia a ba=x0 < x1 < x2 Công thức h ình thang có sai số tỷ lệ với h2 , nên nó được gọi công thức cóchính xác cấp 2 đối với h. Công thức Parabol (Hay công thức Simpson) Đầu tiên chia đoạn [a, b] thành 2n đoạn nhỏ bằng nhau bởi các điểm chia a ba=x0 < x1 < x2 6.1.2 Một số hàm tính gần đúng tích phân xác định trong Matlab.  Hàm QUAD Cú pháp: I = q uad (FUN,a,b,Tol) Giải thích. Hàm QUAD tính gần đúng tích phân xác định bằng phương pháp Sympson thích nghi. I = quad(FUN ,a,b): tính gần đúng tích phân xác định của hàm số FUN từ a đến b với sai số tuyệt đối mặc định là 10 -6, theo phương pháp Simpson thích nghi. FUN là m ột xâu chứa tên hàm. Nếu kết quả trả về là I=Inf thì ngh ĩa là thông báo rằng số bước lặp và tích phân có thể là phân kì. ...