Giáo trình Toán học phần 3

Phép quay tâm O góc α z α ζ = eiαz ζ → ω = λζ 2. Phép vi tự tâm O hệ số λ 3. Phép tĩnh tiến vectơ b ωαw=ω+b Vậy phép biến hình tuyến tính l phép đồng dạng. Hàm nghịch đảo • H m nghịch đảo w = 1 , z ∈ ∀* z l h m giải tích, có đạo h m 1 w’(z) = − 2 ≠ 0 với z ≠ 0 z v do đó biến hình bảo giác mặt phẳng (z) - {0} lên mặt phẳng (w).
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Toán học phần 3 Ch−¬ng 2. H m BiÕnPhøc z α ζ = eiαz1. PhÐp quay t©m O gãc α2. PhÐp vi tù t©m O hÖ sè λ ζ → ω = λζ ωαw=ω+b3. PhÐp tÜnh tiÕn vect¬ bVËy phÐp biÕn h×nh tuyÕn tÝnh l phÐp ®ång d¹ng.H m nghÞch ®¶o• H m nghÞch ®¶o w = 1 , z ∈ ∀* (2.9.3) zl h m gi¶i tÝch, cã ®¹o h m ζ 1 w’(z) = − 2 ≠ 0 víi z ≠ 0 z zv do ®ã biÕn h×nh b¶o gi¸c mÆt ph¼ng (z) - {0} lªn mÆt ph¼ng (w).• KÝ hiÖu z = reiϕ , ta cã w 1 1 |w|= v argw = - argz = - ϕ = (2.9.4) r |z|Suy ra phÐp biÕn h×nh nghÞch ®¶o l tÝch cña c¸c phÐp biÕn h×nh sau ®©y.1. PhÐp ®èi xøng qua ®−êng trßn ®¬n vÞ z α ζ = 1 e iϕ r ζα w= ζ2. PhÐp ®èi xøng qua trôc ho nhVËy phÐp nghÞch ®¶o b¶o to n tÝnh ®èi xøng qua ®−êng trßn ®¬n vÞ v qua trôc ho nh.• Ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn suy réng trong mÆt ph¼ng (z) cã d¹ng A(x2 + y2) + Bx + Cy + D = 0 (2.9.5)KÝ hiÖu z = x + iy v w = u + iv. Suy ra ⇔ x = 2 u 2 v y = 2− v 2 x + iy = 1 u + iv u +v u +vThay v o ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn (2.9.5) nhËn ®−îc D(u2 + v2) + Bu - Cv + A = 0Qua phÐp biÕn h×nh nghÞch ®¶o1. §−êng th¼ng ®i qua gèc A=D=0 biÕn th nh ®−êng th¼ng qua gèc kh«ng qua gèc A = 0 v D ≠ 0 biÕn th nh ®−êng trßn qua gèc2. §−êng trßn A ≠ 0 v D = 0 biÕn th nh ®−êng th¼ng kh«ng qua gèc ®i qua gèc kh«ng qua gèc A ≠ 0 v D ≠ 0 biÕn th nh ®−êng trßn kh«ng qua gècVËy phÐp biÕn h×nh nghÞch ®¶o biÕn ®−êng trßn suy réng th nh ®−êng trßn suy réng. Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 35Ch−¬ng 2. H m BiÕn Phøc §10. H m ph©n tuyÕn tÝnh v h m JucopH m ph©n tuyÕn tÝnh• H m ph©n tuyÕn tÝnh w = az + b (c ≠ 0, ad - bc ≠ 0) (2.10.1) cz + dl h m gi¶i tÝch, cã ®¹o h m w’(z) = ad − bc2 ≠ 0 víi z ≠ - d (cz − d ) cv do ®ã biÕn h×nh b¶o gi¸c mÆt ph¼ng (z) - {- d } lªn mÆt ph¼ng (w). c• Ph©n tÝch w = bc − ad 1 + a (2.10.2) c cz + d cSuy ra phÐp biÕn h×nh ph©n tuyÕn tÝnh l tÝch cña c¸c phÐp biÕn h×nh sau ®©y. z α ζ = cz + d1. PhÐp ®ång d¹ng ζαω= 12. PhÐp nghÞch ®¶o ζ ω α w = a1ω + b1 víi a1 = bc − ad v b1 = a3. PhÐp ®ång d¹ng c cVËy phÐp biÕn h×nh ph©n tuyÕn tÝnh b¶o to n ®−êng trßn suy réng v tÝnh ®èi xøng qua®−êng trßn suy réng.• BiÕn ®æi a z + b1 a b d w= 1 víi a1 = , b1 = v d1 = z + d1 c c cSuy ra nÕu biÕt ®−îc ¶nh cña ba ®iÓm kh¸c nhau w1 = w(z1), w2 = w(z2), w3 = w(z3),th× cã thÓ x¸c ®Þnh ®−îc phÐp biÕn h×nh ph©n tuyÕn tÝnh. w − w1 w 2 − w1 z − z1 z 2 − z1 = (2.10.3) w − w3 w2 − w3 z − z3 z2 − z3H m Jucop• H m Jucop 1 w = 1 (z + ), z ∈ ∀* (2.10.4) z 2l h m gi¶i tÝch, cã ®¹o h m w’(z) = 1 (1 - 12 ) ≠ 0 víi z ≠ 0, ±1 2 zv do ®ã biÕn h×nh b¶o gi¸c mÆt ph¼ng (z) - {0, ±1} lªn mÆt ph¼ng (w).Trang 36 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Ch−¬ng 2. H m BiÕnPhøc• H m Jucop l h m ®a diÖp 1 (z + 1 ) = 1 (z 1 + 1 ) ⇔ (z - z1)(1 - zz1) = 0 (2.10.5) 2 z 2 z1Suy ra miÒn ®¬n diÖp l bªn trong hoÆc bªn ngo i ®−êng trßn ®¬n vÞ.KÝ hiÖu z = reiϕ, ta cã 1 1 1 1 w = (r + )cosϕ + i (r - )sinϕ (2.10.6) r r 2 2 1 -1 -1 1 (z) (w)Qua phÐp biÕn ...