Giáo trình Toán học phần 4

Tích Phân Phức Với mọi a ∈ D tuỳ ý F (z) − F(a ) 1 f (ζ ) 1 f (ζ ) =  z →a ∫ (ζ − a)(ζ − z) dζ  → 2πi ∫ (ζ − a) 2 dζ z−a 2 πi Γ ΓSuy ra h m F có đạo h m cấp một trong miền D tính theo công thức (3.5.2) v do đó giải tích trong miền D.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Toán học phần 4 Ch−¬ng 3. TÝch Ph©n PhøcVíi mäi a ∈ D tuú ý F (z) − F(a ) f (ζ ) f (ζ ) 1 1 ∫ (ζ − a)(ζ − z) dζ a → 2πi ∫ (ζ − a) 2 dζ  = z→ z−a 2 πi Γ ΓSuy ra h m F cã ®¹o h m cÊp mét trong miÒn D tÝnh theo c«ng thøc (3.5.2) v do ®ã gi¶itÝch trong miÒn D.Gi¶ sö h m F cã ®¹o h m ®Õn cÊp n - 1 trong miÒn DVíi mäi a ∈ D tuú ý n =1 ∑ (ζ − a ) (ζ − z ) n −1− k k (n − 1)! ( n −1) ( n −1) (z) − F F (a ) 2 πi ∫ f (ζ ) k = 0 dζ = z−a (ζ − a ) n ( ζ − z ) n Γ f (ζ ) n! ∫ ( ζ − a ) n +1 d ζ a →  z→ 2 πi ΓSuy ra h m F cã ®¹o h m cÊp n trong miÒn D tÝnh theo c«ng thøc (3.5.2)HÖ qu¶ 1 Cho miÒn D cã biªn ®Þnh h−¬ng d−¬ng gåm h÷u h¹n ®−êng cong ®¬n, kÝn vtr¬n tõng khóc. NÕu h m f liªn tôc trªn D , gi¶i tÝch trong D th× cã ®¹o h m mäi cÊptrong miÒn D. f (ζ ) n! ∫D (ζ − z) n +1 dζ ∀ (n, z) ∈ ∠ × D, f(n)(z) = (3.5.3) 2πi ∂Chøng minhNÕu D l miÒn ®¬n liªn th× biªn ∂D l ®−êng cong Γ ®Þnh h−íng d−¬ng, ®¬n, kÝn v tr¬ntõng khóc. Theo c«ng thøc (3.4.3) ta cã f (ζ ) 1 ∫D ζ − z dζ ≡ F(z) ∀ z ∈ D, f(z) = 2πi ∂KÕt hîp víi c«ng thøc (3.5.2) suy ra c«ng thøc (3.5.3)NÕu D l miÒn ®a liªn biÕn ®æi miÒn D th nh miÒn D1 ®¬n liªn nh− trong hÖ qu¶ 2, §3.Sau ®ã sö dông kÕt qu¶ ® biÕt cho miÒn ®¬n liªn, tÝnh céng tÝnh v tÝnh ®Þnh h−íng cñatÝch ph©n.HÖ qu¶ 2 Cho ®−êng cong Γ ®¬n, kÝn, tr¬n tõng khóc, ®Þnh h−íng d−¬ng v h m f liªntôc trªn D Γ , gi¶i tÝch trong DΓ. 2 πi (n) f (z) ∫ (z − a ) ∀ a ∈ DΓ, dz = f (a) (3.5.4) ( n +1) n! ΓChøng minhSuy ra tõ c«ng thøc (3.5.3) e z dzVÝ dô TÝnh tÝch ph©n I = ∫ víi Γ l ®−êng trßn | z | = 2 ®Þnh h−íng d−¬ng Γ ( z + 1) 3 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 51Ch−¬ng 3. TÝch Ph©n PhøcH m f(z) = ez liªn tôc trªn h×nh trßn | z | ≤ 2, gi¶i tÝch trong h×nh trßn | z | < 2. Tho¶ m nc«ng thøc (3.5.4) suy ra 2 πi f”(-1) = πie-1 I= 2!HÖ qu¶ 3 (§Þnh lý Morera) Cho h m f liªn tôc trªn miÒn D v víi mäi tam gi¸c ∆ ⊂ D ∫ f (z)dz = 0 (3.5.5) ∂∆Khi ®ã h m f gi¶i tÝch trªn miÒn D.Chøng minhVíi a ∈ D tuú ý, kÝ hiÖu B = B(a, δ) ⊂ D. V× h m f liªn tôc trªnB nªn kh¶ tÝch trªn mäi ®o¹n th¼ng [a, z] víi z ∈ B. z+hDo ®ã h m B z z a F(z) = ∫ f (ζ )dζ víi z ∈ B ax¸c ®Þnh ®¬n trÞ trong h×nh trßn B v F(a) = 0.Ngo i ra víi mäi (z, h) ∈ D × ∀ sao cho [z, z + h ] ⊂ B z+h F(z + h) − F(z) 1 ∫ (f (ζ) − f (z))dζ ≤ sup{| f(ζ) - f(z) | : ζ ∈ [z, z + h]} − f (z) = h h z h → 0 Suy ra h m F gi¶i tÝch trong B v F’(z) = f(z).Tõ ®Þnh lý trªn suy ra h m f cã ®¹o h m trong B v do ®ã gi¶i tÝch trong B. §6. §Þnh lý trÞ trung b×nh§Þnh lý (VÒ trÞ trung b×nh) Cho h m f gi¶i tÝch trªn miÒn D. Khi ®ã ta cã 2π n! )e − int dt ...