Giáo trình Toán học phần 8

Đưa về dạng chính tắc của phương trình parabole ∂2u ∂u ∂u , ) = F2(ξ, η, u, 2 ∂ξ ∂η ∂η (7.1.6)3. Nếu ∆(x, y) = b2(x, y) - a(x, y)c(x, y) thì phương trình (7.1.4) có nghiệm phức y(x) = Đổi biến ξ=y-
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Toán học phần 8 Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng b(x, y) ∫ a(x, y) dx + C y(x) =§æi biÕn b(x, y) ∫ a(x, y) dx v ξ=y- η = η(x, y) sao cho J(x, y) ≠ 0§−a vÒ d¹ng chÝnh t¾c cña ph−¬ng tr×nh parabole ∂2u ∂u ∂u = F2(ξ, η, u, , ) (7.1.6) ∂ξ ∂η ∂η 23. NÕu ∆(x, y) = b2(x, y) - a(x, y)c(x, y) th× ph−¬ng tr×nh (7.1.4) cã nghiÖm phøc b(x, y) ± i − ∆(x, y) ∫ dx + C = α(x, y) ± iβ(x, y) + C y(x) = a(x, y)§æi biÕn − ∆(x, y) b(x, y) ∫ a(x, y) dx v η = ∫ ξ=y- dx a(x, y)§−a vÒ d¹ng chÝnh t¾c cña ph−¬ng tr×nh ellipse ∂2u ∂2u ∂u ∂u = F2(ξ, η, u, + , ) (7.1.7) ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η 2 2VÝ dô §−a vÒ chÝnh t¾c ph−¬ng tr×nh sau ®©y ∂2u ∂2u ∂2u ∂u ∂u 2 +3 + +3 -3 - 9u = 0 ∂x∂y ∂x ∂y ∂x ∂y 2 2Gi¶i ph−¬ng tr×nh ®Æc tr−ng 1 2 y ′ 2 − 3y ′ + 1 = 0 , y = x + C, y = x +C 2§æi biÕn 1 3 1 ξ+η=y- x, ξ - η = y - x Suy ra ξ = y - x, η = x 2 4 4 3 ∂ξ ∂ξ ∂η 1 ∂η ∂u 3 ∂u 1 ∂u ∂u ∂u =− , =− = 1, =, = 0, + , = 4 ∂y ∂x ∂x 4 ∂y ∂x 4 ∂ξ 4 ∂η ∂x ∂ξ 9 ∂2u 3 ∂ 2u 1 ∂2u ∂ 2 u 3 ∂2u 1 ∂ 2u ∂ 2 u ∂2u ∂2u − + =− + = , , = 16 ∂ξ2 8 ∂ξ∂η 16 ∂η2 ∂x∂y 4 ∂ξ2 4 ∂ξ∂η ∂y 2 ∂x 2 ∂ξ 2D¹ng chÝnh t¾c cña ph−¬ng tr×nh l ∂2u ∂2u ∂u ∂u − 2 =2 +2 - 8u ∂ξ ∂η ∂ξ ∂η 2 Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 115Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng §2. Ph−¬ng tr×nh vËt lý - to¸nPh−¬ng tr×nh truyÒn sãng• Cho sîi d©y rÊt m¶nh, cã ®é d i l, hai mót cè®Þnh, dao ®éng bÐ trong mÆt ph¼ng Oxu theo P3 u(x, t)ph−¬ng trôc Ou. Lóc kh«ng dao ®éng d©y n»m Ttrªn ®o¹n [0, l] v ®é d i cña d©y kh«ng thay ®æi P P M2 M1 1 2trong suèt qu¸ tr×nh dao ®éng. B i to¸n ®ßi hái x1 x x2x¸c ®Þnh ®é lÖch u(x, t) t¹i ®iÓm ho nh ®é x v o 0 lthêi ®iÓm t.• Gi¶ sö d©y rÊt dÎo, ® n håi víi lùc c¨ng T(x, t) h−íng theo ph−¬ng tiÕp tuyÕn cña sîid©y v do ®ã cã hÖ sè gãc l u ′ . Do ®é d i cña sîi d©y kh«ng thay ®æi trong lóc dao x®éng nªn lùc c¨ng T(x, t) kh«ng phô thuéc v o thêi gian. Gäi P1 l h×nh chiÕu cña lùcc¨ng trªn cung M1M2 lªn trôc Ou x2 ∂2u P1 = ∫ T (x) 2 dx ∂x x1Gäi F(x, t) l mËt ®é cña ngo¹i lùc t¸c ®éng v P2 l h×nh chiÕu cña ngo¹i lùc trªn cungM1M2 lªn trôc Ou x2 ∫ F(x, t )dx P2 = x1Gäi ρ(x) l mËt ®é vËt chÊt cña sîi d©y, u ′t′t l gia tèc cña chuyÓn ®éng v P3 l h×nhchiÕu cña lùc qu¸n tÝnh trªn cung M1M2 lªn trôc Ou x2 ∂2u P3 = - ∫ ρ(x) dx ∂t 2 x1Theo nguyªn lý c©n b»ng lùc P1 + P2 + P3 = 0 suy ra x2 ∂2u ∂2u   ∫  T(x) ∂x 2 + F(x, t ) − ρ(x) ∂t 2 dx = 0   x1  Do x1, x2 l tuú ý nªn ∀ (x, t) ∈ [0, l] × [0, +∞) ta cã ...