Giáo trình Toán học phần 9

Giải hệ phương trình vi phân hệ số hằng′ T k′ (t ) + (2kπ)2Tk(t) =Tìm được các ẩn m2(-1) k +1 ′ t , Tk(0) = 0, Tk (0) = 0 kπ(-1) k +1 1 sin 2 kπt với k ∈ ∠* t − 3 2( kπ ) 2 kπ Suy ra nghiệm của b i toán Tk(t) =
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Toán học phần 9 Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn SãngGi¶i b i to¸n HH2a 2(-1) k +1 1 fk(t) = 2t ∫ x sin kπxdx = t víi k ∈ ∠* kπ 0Gi¶i hä ph−¬ng tr×nh vi ph©n hÖ sè h»ng 2(-1) k +1 T k′ (t ) + (2kπ)2Tk(t) = ′ ′ t , Tk(0) = 0, Tk (0) = 0 kπT×m ®−îc c¸c h m (-1) k +1   1 t − sin 2 kπt  víi k ∈ ∠* Tk(t) = 2( kπ )  2 kπ 3 Suy ra nghiÖm cña b i to¸n (-1) k +1  +∞  1 1 ∑ t − sin 2 kπt  sin kπx u(x, t) = xt + cos2πtsinπx +  2 kπ 2π 3 3  k k =1NhËn xÐt B»ng c¸ch kÐo d i liªn tôc c¸c h m liªn tôc tõng khóc, c¸c c«ng thøc trªn vÉnsö dông ®−îc trong tr−êng hîp c¸c h m g v h cã ®¹o h m liªn tôc tõng khóc. B i tËp ch−¬ng 7• §−a vÒ chÝnh t¾c c¸c ph−¬ng tr×nh ®¹o h m riªng tuyÕn tÝnh cÊp 2 sau ®©y. ∂2u ∂2u ∂2u1. +2 + 5 2 - 16u = 0 ∂x∂y ∂x 2 ∂y ∂2u ∂2u ∂2u ∂u ∂u2. -2 + +9 -9 + 9u = 0 ∂x∂y ∂x ∂y ∂x ∂y 2 2 ∂2u ∂2u ∂2u ∂u ∂u3. 2 +3 + +7 -4 =0 ∂x∂y ∂x ∂y ∂x 2 ∂y 2 ∂2u ∂2u ∂2u ∂u - cos2x 2 + sinx4. - 2sinx =0 ∂x∂y ∂y ∂x ∂y 2• LËp b i to¸n ph−¬ng tr×nh VËt lý - To¸n tõ c¸c b i to¸n sau ®©y.7. D©y rÊt m¶nh cã ®é d i l ®Æt trªn trôc Ox, mót x = 0 cè ®Þnh, mót x = l chuyÓn ®éngtheo qui luËt Asinωt, dao ®éng trong m«i tr−êng cã lùc c¸n tû lÖ víi vËn tèc, hÖ sè tû lÖl λ, ®é lÖch ban ®Çu l g(x), vËn tèc ban ®Çu l h(x). X¸c ®Þnh dao ®éng cña d©y?8. §Üa rÊt máng ®ång chÊt b¸n kÝnh R ®Æt trong mÆt ph¼ng Oxy, mËt ®é nguån nhiÖttrong tû lÖ víi kho¶ng c¸ch ®Õn t©m, nhiÖt ®é m«i tr−êng gi÷ ë nhiÖt ®é u0, nhiÖt ®é ban®Çu l g(x, y). X¸c ®Þnh ph©n bè nhiÖt trªn ®Üa? Gi¸o Tr×nh To¸n Chuyªn §Ò Trang 131Ch−¬ng 7. Ph−¬ng Tr×nh TruyÒn Sãng• Gi¶i b i to¸n Cauchy ∂2u ∂2u ∂u = a2 2 ut=0 = ex, = e-x9. t=0 ∂t 2 ∂t ∂x ∂2u 2∂ u ∂u 2 + te-x10. =a ut=0 = sinx, = x + cosx t=0 ∂t ∂t ∂x 2 2 ∂2u ∂2u ∂u = a2 2 + tsinx11. ut=0 = cosx, =x t=0 ∂t 2 ∂t ∂x ∂2u ∂2u ∂u = a2 2 + tcosx12. ut=0 = sinx, = 2x t=0 ∂t 2 ∂t ∂x• Gi¶i b i to¸n gi¶ Cauchy ∂2u ∂2u ∂u = a2 2 + te-x13. ut=0 = sinx, = x, u(0, t) = 0 t=0 ∂t 2 ∂t ∂x ∂2u ∂2u ∂u = a2 2 ...