Hệ sinh, cơ sở, số chiều và hạng của một hệ vectơ

________________________________________________1. Hệ sinh:1.1 Định nghĩa: Cho S là một tập con của không gian vectơ V. Ta gọi tập hợp các tổ hợp tuyến tính của các phần tử của S là bao tuyến tính của S và ký hiệu là E(S). S được gọi là hệ sinh của V nếu E(S) = V. Ta gọi S là hệ sinh tối tiểu nếu nó không chứa tập con thực sự cũng là hệ sinh. Không gian vectơ có một hệ sinh hữu hạn được gọi là không gian hữu hạn sinh hay không gian hữu hạn chiều....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Hệ sinh, cơ sở, số chiều và hạng của một hệ vectơ Hệ sinh, cơ sở, số chiều và hạng của một hệ vectơ ________________________________________________1. Hệ sinh: 1.1 Định nghĩa: Cho S là một tập con của không gian vectơ V. Ta gọi tập hợp các tổhợp tuyến tính của các phần tử của S là bao tuyến tính của S và ký hiệu là E(S). S đượcgọi là hệ sinh của V nếu E(S) = V. Ta gọi S là hệ sinh tối tiểu nếu nó không chứa tậpcon thực sự cũng là hệ sinh. Không gian vectơ có một hệ sinh hữu hạn được gọi là không gian hữu hạn sinh haykhông gian hữu hạn chiều. Do đó, nếu cho S = {u1 , u2 ,..., un } V , S là hệ sinh của V khi và chỉ khi: ∀u � , ∃(α1 , α 2 ,..., α n ) �ﾡ n : u = α1u1 + α 2u2 + ... + α nun . V Nếu S là hệ sinh của V thì ta ký hiệu V = S = {u1 , u2 ,..., un } . 1.2 Ví dụ: 1. Nếu S = { } thì E ( S ) = { } . 2. Đối với không gian vectơ ﾡ n , hệ vectơ gồm các vectơe1 = (1, 0,..., 0); e2 = (0,1, 0,..., 0);...; en = (0, 0,....,1) là một cơ sở của không gian vectơ ﾡ n . 3. Tập các đơn thức {t n | n 0} là một hệ sinh của không gian các đa thức K[t]. 4. Nếu S là hệ sinh của V, thì mọi tập chứa nó đều là hệ sinh của V. Nói riêng V làhệ sinh của V. 1.3 Nhận xét: Để chứng minh S là một hệ sinh của V ta chứng minh mọi tập con hữu hạnv1 , v2 ,.., vn là hệ sinh của V. Khi đó, ta có thể sử dụng một trong các phương pháp sau: Phương pháp 1: Chứng minh với mọi vector v thuộc V thì có các số α1 , α 2 ,..., α n thuộc trường K saocho v = α1v1 + α 2 v2 + ... + α n vn . Trong không gian vector K m với n m điều này tương đương với hệ phương trình: a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn = b2 luôn có nghiệm với v = (b1 , b2 ,..., bm ) K m trong đó ... am1 x1 + a2 x2 + ... + amn xn = bmvi = (a1i , a2i ,..., ami ), ∀i = 1,.., n . Phương pháp 2: Nếu biết trước 1 hệ sinh u1 , u2 ,..., um của V thì cần chứng tỏ mỗi vector ui biểu diễnđược qua các vector v1 , v2 ,..., vm với i = 1, …, m. Ví dụ: Chứng minh rằng hệ 4 vector u = (1, 2,3); v = (0, 2,1); w = (0, 0, 4); z = (2; 4;5) là hệsinh của không gian vector ﾡ 3 . Giải: 1.x1 + 0.x2 + 0 x3 + 2 x4 = b1 Xét hệ phương trình 2.x1 + 2.x2 + 0 x3 + 4 x4 = b2 3.x1 + 1.x2 + 4.x3 + 5 x4 = b3 Hệ này có nghiệm vì hạng của ma trận hệ số bằng với hạng của ma trận hệ số mởrộng và nghiệm của hệ phương trình là: x1 = b1 b2 x2 = − b1 2 x3 = (b3 − 3b1 ) / 4 x4 = 0 1.4 Định lý: E(S) là không gian con của V và là không gian con nhỏ nhất của V chứatập S. 1.5 Định lý: S là hệ sinh tối tiểu của E(S) khi và chỉ khi S là hệ độc lập tuyến tính. 2. Cơ sở, số chiều và hạng của hệ vectơ: 2.1 Định nghĩa: Ta gọi hệ vectơ S V là cơ sở của V nếu S là hệ sinh tối tiểu củaV. Nói cách khác S là cơ sở của V nếu và chỉ nếu S là hệ sinh của V và S là hệ vectơ độclập tuyến tính. Nếu tập được sắp thứ tự S = {ui | i I } là cơ sở của V và u V thì bộ các số (α i )i Iđược gọi là tọa độ của u theo S nếu u = α i ui . iI Ví dụ: Trong ﾡ 4 xét cơ sở chính tắc gồm 4 vector sau đây: u1 = (1, 0, 0, 0); u2 = (0,1, 0, 0); u3 = (0, 0,1, 0); u4 = (0,0, 0,1) khi đó vector u = (1, 2,3, 4) ﾡ 4được biểu thị tuyến tính qua các vector u1 , u2 , u3 , u4 như sau: u = u1 + 2u2 + 3u3 + 4u4 . Suy ra tọa độ của vector u đối với cơ sở trên là u = (1, 2, 3,4). Mặt khác, trong ﾡ 4 xét cơ sở gồm các vector sau: v1 = (1, 0, 0,1); v2 = (0,1, 0, 0); v3 = (0, 0,1, 0); v4 = (1,1, 0, 0) thì khi đó vector u = (1, 2,3, 4) ﾡ 4 được biểu thị tuyến tính qua các vector trên nhưsau: u = −2v1 − v2 + 3v3 + 3v4 . Khi đó, tọa độ của u đối với cơ sở này là u = (-2, -1, 3, 3). 2.2 Định lý: Nếu V là không gian hữu hạn sinh thì số vectơ trong mọi cơ sở của V lànhư nhau. Số này gọi là số chiều của V. Ký hiệu là dimV. 2.3 Ví dụ: - Các vectơ e1 = (1, 0, 0,..., 0); e2 = (0,1, 0,..., 0);...; en = (0, 0,....,1) lập thành một cơ sở củakhông gian vectơ ﾡ n . Ta gọi đây là cơ sở chính tắc (cơ sở tự nhiên) của ﾡ n , vậydim ﾡ n = n . Một vectơ x = ( x1 , x2 ,..., xn ) có tọa độ với hệ {e1 , e2 ,..., en } là ( x1 , x2 ,..., xn ) . Tuynhiên, tọa độ của x theo hệ {e2 , e1 ,..., en } lại là ( x2 , x1 ,..., xn ) � 0� 1 � 1� 0 � 0� 0 � 0� 0 - Các ma trận I1 = � �I 2 = � �I 3 = � �I 4 = � ; ; ; �lập thành một cơ sở � 0� 0 � 0� 0 � 0� 1 � 1� 0 � b� acủa không gian các ma trận M(2;K). Một ma trận A = � � ẽ có tọa độ đối với hệ cơ s � d� csở này là (a, b, c, d). - Trong không gian vectơ các ma trận M ( m n; ﾡ ) , ta có thể lập một hệ cơ sở baogồm các ma trận Eij trong đó các phần tử tương ứng ở dòng i và cột j với1 i m;1 j n bằng 1 còn các phần tử còn lại của ma trận Eij này đều bằng 0. Khi đó,dim M (m n; K ) = mn . - ﾡ n ( x) là tập hợp các đa thức hệ số thực bậc nhỏ hơn hay bằng n với các phép toánthông thường là một không gian vectơ. Trong đó, hệ 1, x, x 2 ,..., x n là một cơ sở của khônggian vectơ này. Do đó, dim ﾡ n ( x) = n + 1 . 2.4 Định lý: Cho ...