HÌNH HỌC HOÁ BẤT ĐẲNG THỨC QUA BA BIẾN p, R, r

Tài liệu về lý thuyết và bài tập môn hình học hóa, chuyên đề bất đẳng thức qua ba biến p, R, r. Các bài tập ứng dụng cụ thể giúp các bạn học sinh trung học phổ thông ôn thi tốt nghiệp và đại học tốt hơn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
HÌNH HỌC HOÁ BẤT ĐẲNG THỨC QUA BA BIẾN p, R, r HÌNH HỌC HOÁ BẤT ĐẲNG THỨC QUA BA BIẾN p, R, rĐặt a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Còn p, R, r lần lượt là nửa chu vi, bán kính đườngtròn ngoại tiếp và nội tiếp của ABC .1/ Một số đẳng thức liên hệ giữa 3 cạnh tam giác và p, R, r.a) ab  bc  ca  p 2  4Rr  r 2b) 2  ab  bc  ca   a 2  b2  c 2  16Rr  4r 2c) a2  b2  c2  2 p2  8Rr  2r 2 p2 1d) 2 Rr  r 2    b  c  2a  c  a  2b  a  b  2c  9 18 p p2 1e) 4 Rr  r    2  b  c  3a  c  a  3b  a  b  3c  4 32 p2/ Một số bổ đề quan trọng sử dụng nhiều trong chứng minh BĐT.  Bổ đề 1: Cho tam giác ABC, D là một điểm bất kì thuộc BC. Khi đó: nc 2  mb2   d 2  mn  a trong đó AD = d, BD = m, DC = n. Chứng minh:   Ta có: m2  d 2  c2  2mdcosADB (1), n2  d 2  b2  2ndcosADC (2) . Nhân cả hai vế của (1) với n và cả 2 vế của (2) với m ta được: n  m2  d 2  c 2   2mndcosADB (3), m  n2  d 2  b2   2mndcosADC (4)   Cộng vế theo vế của (3) và (4), ta được đpcm.  Bổ đề 2: Nếu tam giác ABC có: Hai góc  600 thì p  3  R  r  , hai góc  600 thì p  3  R  r  , một góc bằng 600 thì p  3  R  r  . Chứng minh: Ta có: p  3R  r a b  c 3 r  sin A  sin B  sin C 3   1      cosA + cosB+ cosC  2R 4R 2  R 2 2        sin  A    sin  B    sin  C   (1)  3  3  3    Đặt x  A  ; y  B ; z C , ta có x  y  z  0 . 3 3 3 Không mất tính tổng quát ta giả sử x  y  z thì x y x y x y x y (1)  sin x  sin y  sin z  sin x  sin y  sin( x  y)  2sin cos  2sin cos 2 2 2 2 x y x y x y x y x y  2sin  cos  cos   4sin sin sin 2  2 2  2 2 2 x y x Do x  y  z  0 và x  y  z và x  0, x   , x  y   suy ra 4sin sin  0. 2 2  y p  3R  r x y x y - Nếu y  0  B  thì sin  0 , do đó  4sin sin sin  0 3 2 2R 2 y 2  tức là p  3  R  r  khi  ABC có 2 góc  . 3 y p  3R  r x y x y - Nếu y  0 thì sin  0 , do đó :  4sin sin sin  0. 2 2R 2 2 2 Mai Xuân Việt – Email: xuanviet15@gmail.com – Tel : 01678336358 – 0938680277 – 0947572201 -1-  tức là p  3  R  r  khi ABC có 2 góc  . 3 y - Nếu y  0 thì p  3  R  r  do sin 0. 2 Bổ đề 3: ta luôn có BĐT sau : p 2  2R2  10Rr  r 2  2  R  2r  R  R  2r  . Chứng minh: Giả sử a, b, c thoả mãn a  b  c  0 là 3 nghiệm của phương trình: f ( x)  x3  2 px 2   p 2  4Rr  r 2  x  4 pRr  0 Điều kiện để a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác là: b  c  a p  a    p  a  b  c  0 (1) . c  0 c  0  Phương trình f ( x)  0 có nghiệm thoả (1). Ta có : f ( x)  3x2  4 px  p2  4Rr  r 2 có    2 p   3  p 2  4Rr  r 2   p 2  12Rr  3r 2 . 2 f ( x)  0 có 3 nghiệm    0. 2p   2p   Hai nghiệm của f ( x)  ...