Hình học sơ cấp - Phương tích

Bài 1: Cho đường tròn có đường kính thay đổi. A là điểm ở ngoài đường tròn.a) Chứng minh đi qua một điểm cố định khác A. Suy ra tâm đường tròn thuộc một đường thẳng cố định.b) Tiếp tuyến tại A của cắt tại T. Chứng minh T thuộc một đường thẳng cố đñịnh.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Hình học sơ cấp - Phương tích TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM KHOA TOÁN - LỚP TOÁN 4B HÌNH HỌC SƠ CẤP PHƯƠNG TÍCH GVHD: Lê Ngô Hữu Lạc Thiện Danh sách nhóm – Toán 4B B A 1. Nguyễn Ngọc QuýM R 2. Nguyễn Thị Mỵ 3. Lâm Thị Thu Thảo O 4. Tôn Nữ Thanh Trúc 5. Nguyễn Phước Thanh TP.HCM, ngày 10 tháng 10 năm 2012BÀI 4 PHƯƠNG TÍCH I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT PHƯƠNG TÍCH B Định lý phương tích: 1. R A OM Nếu MP là tiếp tuyến tại P của đường tròn (O,R) là: E Định lý đảo: 2. Nếu tứ giác ABCD có thoả mãn thì tứ giác ABCD nội a. tiếp. b. Một tam giác có M thuộc BC thoả mãn thì MA là tiếp tuyến của đường tròn (ABC). 3. Định lý trục đẳng phương: • Trục đẳng phương thì vuông góc với đường thẳng nối tâm. O O O I • Cho hai đường tròn (O;R) và (O’;R’) có trục đẳng phương ∆. M là một điểm có hình chiếu lên trục ∆ là N. Thì ta có: M N I O O K H .4. Đường tròn trực giao: M O O Điều kiện trực giao: điều kiện cần và đủ để hai đường tròn trực giao (O;R) và (O’;R’) là: (Các mệnh đề sau là tương đương)a.b. .c. Đường kính của đường tròn này bị đường tròn kia chia điều hoà. BÀI TẬP PHƯƠNG TÍCH II.Bài 1: Cho đường tròn có đường kính thay đổi. A là điểm ở ngoàiđường tròn.a) Chứng minh đi qua một điểm cố định khác A. Suy ra tâm đườngtròn thuộc một đường thẳng cố định.b) Tiếp tuyến tại A của cắt tại T. Chứng minh T thuộc một đườngthẳng cố đñịnh. Bài giải: A H M I T C O B D a) Gọi . (cần chứng minh D cố định). Ta có: Suy ra: Do và O, A cố định nên D cố định. Suy ra, IA=ID do đó I thuộc trung trực AD cố định. • Vậy tâm đường tròn nằm trên đường thẳng cố định là trung trực của. b) Gọi M trung điểm của AO, nên M cố định. H là chân đường cao TH trong tam giác AOT. Ta có: Theo hệ thức lượng trong tam giác ta có:Suy ra H là điểm cố định, nên TH là cố định.Vậy T nằm trên đường thẳng cố định vuông góc với AD tại H.Bài 2: Cho tam giác có trực tâm . Chứng minh rằng các đường trònđường kính và trực giao nhau. Bài giải: A M E H B C N FGọi M,N lần lượt là chân đường cao hạ từ B, A xuống cạnh AC, BC của Gọi E,F lần lượt là giao điểm của (BC) và đường cao AH Ta có: (đường kính vuông góc với dây cung). Do đ ó: . Vậy hai đường tròn (AH) và (BC) trực giao nhau.Bài 3: Một cát tuyến thay đổi song song đáy của tam giác c ắt và l ầnlượt tại và . Chứng minh trục đẳng phương của đường tròn đườngkính và là đường cao từ của tam giác . Bài giải: A C B E D H J I B CGọi H là trực tâm của tam giác ABCKẻTa có: ( vì ) ( vì )Mà: (vì nội tiếp).Suy ra Vì vậy H thuộc trục đẳng phương của (BE) và (CD)Lại có:Ta có:Nên thuộc trục đẳng phương của vàVậy là trục đẳng phương của (BE) và (CD). (đpcm) AH Cách khác:GọiKhi đó vàSuy ra là trực tâm của ( với )Ta có:(vì BC’B’C nội tiếp) (1)Mặt khác nênSuy ra:Mà : ( do BC’B’C nội tiếp)Nên :Hay : (2)Từ (1), (2) suy ra A, H thuộc trục đẳng phương của (BE) và (C D) Mà AH cũng là đường cao (Hlà trưc tâm của ) Nên ta có đpcm. Bài 4: Cho tứ giác . cắt tại . Gọi lần lượt là trung đi ểm c ủa . G ọi lần lượt là trực tâm của tam giác và . Chứng minh rằng vuông góc Bài giải:Gọi:Ta có: (do AFED nội tiếp)Ta có:Do (1) nên (a)Suy ra H thuộc trục đẳng phương của (CD) và (AB)Ta có :Do (2) nên thuộc trục đẳng phương của và (b)Từ (a) và (b) thuộc tr ...