Kỹ thuật giải phương trình có chứa căn thức

LỜI MỞ ĐẦU Việc giải phương trình chứa căn thức bậc hai đã có nhiều tài liệu tổng hợp nhiều dạng khác nhau. Riêng bản thân viết phần này dựa trên cơ sở tiếp thu bài giảng, tư liệu của TSKH Nguyễn Văn Mậu. Trong việc giải phương trình chứa căn thức rất đa dạng và phong phú. Nhưng cá nhân tôi xin được trình bày một cách giải và cách ra đề bài các phương trình chứa căn thức bậc hai. Tuy nhiên không thể tránh khỏi những sai sót và hạn chế nhất định mà có thể chưa...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Kỹ thuật giải phương trình có chứa căn thức LỜI MỞ ĐẦU Việc giải phương trình chứa căn thức bậc hai đã có nhiều tài liệu tổng hợp nhiều dạng khácnhau. Riêng bản thân viết phần này dựa trên cơ sở tiếp thu bài giảng, tư liệu của TSKH NguyễnVăn Mậu.Trong việc giải phương trình chứa căn thức rất đa dạng và phong phú. Nhưng cá nhân tôi xinđược trình bày một cách giải và cách ra đề bài các phương trình chứa căn thức bậc hai. Tuynhiên không thể tránh khỏi những sai sót và hạn chế nhất định mà có thể chưa thấu đáo được .Mong các đồng nghiệp bổ sung.A. Đặt vấn đềTrong bài này chỉ nói lên một số cách giải của phương trình chứa căn bậc hai, cách ra đềcủa dạng toán đó.B.Nội dungI. Cơ sở lý luận- Định nghĩa 1: Hàm số y= f(x) được gọi là tăng ( hay giảm) trên khoảng (a; b) nếu mọi x1,x2 thuộc khoảng (a;b) sao cho x1 < x2 thì f(x1) f(x2) )- Định lý: Nếu hàm số y=f(x) chỉ đơn điệu tăng ( hay đơn điệu giảm) trên khoảng (a;b) thìcó hàm số ngược trên khoảng (a;b) .- Định nghĩa 2 : Giá trị x0  R được gọi là nghiệm phương trình f(x) = g(x) nếu thoã mãnf(x0) = g(x0) , với x0 thuộc tập xác định của phương trình -1- - Sử dụng các định nghĩa nghiệm hệ phương trình, hệ phương trình đối xứng. II. Nội dung 1. Bài toán 01: Cho hàm số f(x) đồng biến ( hay nghịch biến ) trên một miền xác định của hàm số. Kí hiệu f-1(x) là hàm số ngược của hàm số f(x). Giải phương trình f(x) = f-1(x) . Giải Đặt y = f-1(x)  x = g(y)  f ( x)  y Khi đó f(x) = f-1(x)   giải hệ đối xứng này ta được nghiệm của phương trình.  f ( y)  x Ví dụ 1 Giải phương trình x2 + 1 = 3 3 x  1 (1) Giải: 1 Điều kiện x ≥ 3 Đặt y = 3 x  1 ( y≥ 0)  y2 = 3x – 1  y2 +1 = 3x x 2  1  3 y x 2  1  3 y   Do đó pt (1)    2  y 2  1  3x  x  y 2  3( y  x )   Từ x2 – y2 = 3(y-x)  ( x – y)( x+ y +3) = 0 1  Nếu y = -x – 3 < 0, với x ≥ không thoã vì y≥ 0 3 3 5  Nếu y = x ta có x2 – 3x + 1 = 0  x  2Ví dụ 2 Giải phương trình x2 + 2x -1 = 3  x (2) -2-Giải điều kiện x ≥ -3 Pt (2)  x2 + 2x -2 = 3  x -1 (2’) Đặt 3  x - 1 = y ( y≥ - 1) 2 2  3 + x = ( y+1)  x = y +2y – 2 2 x  2 x  2  y Từ hệ đối xứng này, giải như vd1 ta có nghiệm phương trình đã cho.Pt (2’)   2 y  2y  2  x Nhận xét : Từ hai ví dụ trên, giáo viên có thể tự sáng tác được các bài tập tương tự thuộclớp bài toán trên bằng cách ta choy = ax2 + bx +c  ax2 + bx +c – y = 0 ta tìm nghiệm x theo y là x =g(y) và sau đó thay ybỡi x ta có y= g(x). Rồi cho đề ax2 + bx +c = g(x) .Chẳng hạn: 3 21 Từ x2 + 3x -3 = y  x2 + 3x -3 – y = 0  x =  y 2 4 3 21  y=  x 2 4 3 21 Ta cho giải phương trình x2 + 3x -  x 2 4 Từ x2 + 4x – 2 = y  x2 + 4x – 2 – y = 0  x =  2  y  6 y =2 x6Ta cho đi giải phương trình x2 + 4x = x62.Bài toán 2 Trước khi đi vào bài toán này ta giải ví dụ sau -3-Ví dụ 1 giải phương trình x2 + 4x – 2 = x 3  1 (3) Giải x3 1 = x 1 . x2  x 1 Ta cóChọn hai số m, n sao cho : m(x – 1) + n ( x2 + x +1) = x2 + 4x – 2Khi đó m = 3, n = 1Pt (3)  ( x 2  x  1 )2 + 3( x  1 )2 = ( x  1)( x 2  x  1) x 1 x 1 )2 =  1 + 3( 2 2 x  x 1 x  x 1 x 1 , ta có phương trình 3y2 + - y +1 = 0 ( vô nghiệm) Đặt y = 2 x  x 1 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Nhận xét : Cách giải trên thiếu tự nhiên, nhưng thực chất chúng ta xuất phát từ biểu thức m.A2 + n.B2 = p. AB (*), với m,n,p,A,B là tuỳ ý. Chẳng hạn x 2  x  1 , m=3, n=1, p=1 Ở ví dụ1 ta chọn : A = x 1 , B = x2  x 1 , B = x 2  x  1 , m=1 , n= 2 , ...