Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số định lý giới hạn trong xác suất không giao hoán

Mục đích nghiên cứu của luận án này là thiết lập một số định lý giới hạn dạng luật số lớn cho dãy và mảng các toán tử đo được dưới các điều kiện khác nhau. Để hiểu rõ hơn mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết của Luận án này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số định lý giới hạn trong xác suất không giao hoán BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH --------F-------- ĐỖ THẾ SƠN MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠNTRONG XÁC SUẤT KHÔNG GIAO HOÁN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐỖ THẾ SƠN MỘT SỐ ĐỊNH LÝ GIỚI HẠNTRONG XÁC SUẤT KHÔNG GIAO HOÁN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và Thống kê toán học Mã số: 9460106 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1. GS. TS. NGUYỄN VĂN QUẢNG 2. TS. LÊ HỒNG SƠN NGHỆ AN - 2020 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quảviết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khiđưa vào luận án. Các kết quả được trình bày trong luận án là mới và chưatừng được ai công bố trước đó. Tác giả Đỗ Thế Sơn ii LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướngdẫn khoa học của GS.TS. Nguyễn Văn Quảng và TS. Lê Hồng Sơn. Tácgiả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với hai Thầy đã hướng dẫntận tình và chu đáo trong suốt quá trình tác giả học tập và nghiên cứu. Trong quá trình hoàn thành luận án, tác giả đã nhận được sự quantâm và góp ý của TS. Nguyễn Thị Thế, PGS.TS. Lê Văn Thành, TS.Nguyễn Trung Hòa, TS. Nguyễn Thanh Diệu, TS. Võ Thị Hồng Vân, TS.Dương Xuân Giáp, TS. Trần Anh Nghĩa, PGS. TS Nguyễn Chiến Thắng,TS. Nguyễn Huy Chiêu cùng các nhà khoa học và bạn bè đồng nghiệp.Tác giả xin chân thành cảm ơn những sự giúp đỡ quý báu đó. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới Viện Sư phạm Tự nhiên và PhòngĐào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh đã hỗ trợ và tạo mọi điều kiệnthuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của một nghiên cứu sinh. Tác giả xin chân thành cảm ơn Khoa Khoa học Cơ bản, Trường Đạihọc Công nghiệp TP. Hồ Chí Minh, nơi tác giả đang làm việc, đã tạo điềukiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học. Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán vì đãhỗ trợ và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả được học tập và nghiên cứutại Viện. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới bạn bè và đồng nghiệp đã luônđộng viên và khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình đã luôn là chỗdựa vững chắc cho tác giả yên tâm học tập, nghiên cứu và công tác. Đỗ Thế Sơn 1 MỤC LỤCMở đầu 4Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 101.1. Toán tử trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 101.2. Đại số von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3. Toán tử đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4. Các dạng hội tụ và sự độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . 23Chương 2. Một số định lý giới hạn dạng luật mạnh số lớnđối với dãy các toán tử đo được 262.1. Luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử đo được dương . . 262.2. Luật mạnh số lớn đối với dãy các toán tử đo được độc lập đôimột . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.3. Một số dạng khả tích đều và luật mạnh số lớn đối với dãy cáctoán tử đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49Chương 3. Một số định lý giới hạn dạng luật yếu số lớn đốivới dãy và mảng các toán tử đo được 643.1. Luật yếu số lớn đối với dãy các toán tử đo được . . . . . . . 64 23.2. Luật yếu số lớn đối với mảng các toán tử đo được . . . . . . 69Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến luận án 87Tài liệu tham khảo 88 3 MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁNN Tập số tự nhiênR Tập số thựcR+ Tập số thực không âmC Tập số phức∅ Tập rỗngB(R) σ -đại số Borel của tập số thực RB ∈ B(R) B là tập con Borel của tập số thực RH Không gian Hilbert phức x, y Tích vô hướng của x, y ∈ HL(H) Đại số tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn trên H T ∞ Chuẩn của toán tử T ∈ L(H)A Đại số von Neumann1 Toán tử đồng nhất1A Hàm chỉ tiêu của tập Aσ(T ) Phổ của toán tử TW ∗ (X) Đại số von Neumann sinh bởi toán tử đo được XeB (X) Phép chiếu phổ của toán tử tự liên hợp X tương ứng với tập con Borel B của tập số thực Rτ Trạng thái vết2 Kết thúc chứng minh 4 MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tài1.1. Các định lý giới hạn đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiêncứu và có nhiều ứng dụng trong thống kê, kinh tế, y học và một số ngànhkhoa học thực nghiệm khác. Định lý giới hạn dạng luật số lớn được nghiêncứu cho nhiều đối tượng khác nhau. Chẳng hạn, luật số lớn cho các biếnngẫu nhiên đơn trị, các biến ngẫu nhiên đa trị, các biến ngẫu nhiên nhậngiá trị tập mờ; luật số lớn trong lý thuyết trò chơi, trong xác suất khônggiao hoán. Trong đó, định lý giới hạn trong xác suất không giao hoánđang thu hút được sự quan tâm của nhiều tác giả và đã đạt được nhữngkết quả nhất định (xem [3], [23], [35], [43], [60]).1.2. Lý thuyết tích phân ...