Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số kiểu hàm lồi và bất đẳng thức tích phân liên quan

Đề tài đã đặt được một số kết quả sau: Xem xét một kiểu đối xứng tổng quát tương ứng với lớp hàm lồi suy rộng theo cặp tựa trung bình số học và thiết lập các bất đẳng thức kiểu Fejér và các tổng quát hóa của nó; cung cấp một phương pháp hiệu quả để thiết lập các bất đẳng thức kiểu Fejér cho tích phân bậc không nguyên; giới thiệu một số áp dụng vào hàm Gamma cũng đã được chỉ ra.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số kiểu hàm lồi và bất đẳng thức tích phân liên quan BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN NGỌC HUỀ MỘT SỐ KIỂU HÀM LỒI VÀBẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN LIÊN QUAN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN NGỌC HUỀ MỘT SỐ KIỂU HÀM LỒI VÀBẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN LIÊN QUAN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 9 46 01 02 Phản biện 1: GS. TS. Đặng Đức Trọng Phản biện 2: PGS. TS. Nguyễn Thanh Diệu Phản biện 3: TS. Đào Văn Dương Tập thể Hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Đinh Thanh Đức TS. Lê Quang Thuận BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020 Lời cam đoan Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn, dưới sự hướng dẫncủa PGS. TS. Đinh Thanh Đức và TS. Lê Quang Thuận. Tôi xin cam đoan đâylà công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả trong Luận án là trung thực, đượccác đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được ai công bố trước đó. TM. Tập thể hướng dẫn Tác giả PGS. TS. Đinh Thanh Đức Nguyễn Ngọc Huề Lời cảm ơn Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Quy Nhơn, dưới sự hướng dẫnđầy nhiệt tâm và nghiêm khắc của PGS. TS. Đinh Thanh Đức và TS. Lê QuangThuận. Lời đầu tiên, cho tôi được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến quý Thầy, đãtạo điều kiện thuận lợi về mọi mặt, hướng dẫn và chỉ bảo tôi trong suốt quá trìnhlàm việc, nghiên cứu hoàn thành Luận án của mình. Tôi cũng xin gửi lời cám ơn đến thầy GS. TSKH. Vũ Kim Tuấn, các em DươngQuốc Huy và Nguyễn Dư Vi Nhân, đã có những giúp đỡ, đóng góp quan trọngcho tôi trong việc nghiên cứu khoa học và hoàn thành luận án. Tôi xin trân trọng gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu Trường Đạihọc Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Toán và Thống kê cùng tất cảquý thầy, cô giáo đã động viên, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôitrong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Cuối cùng, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Trường Đại học TâyNguyên, gia đình, anh em bạn bè, những người luôn chia sẻ, động viên và giúpđỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu hoàn thành Luận án. iMục lụcLời cam đoanLời cảm ơn iDanh mục các kí hiệu ivMở đầu 1Chương 1. Các bất đẳng thức kiểu Fejér cho hàm lồi theo cặp tựa trung bình số học và áp dụng 9 1.1 Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Các bất đẳng thức kiểu Fejér cho các hàm (Mφ , Mψ )-lồi . . . . . 13 1.3 Áp dụng vào các bất đẳng thức liên quan đến hàm Gamma và các trung bình đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Chương 2. Bất đẳng thức kiểu Jensen và áp dụng 38 2.1 Bất đẳng thức kiểu Jensen dạng tích phân . . . . . . . . . . . . . 38 2.2 Bất đẳng thức kiểu Jensen dạng dãy . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.3 Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3.1 Áp dụng của bất đẳng thức kiểu Jensen dạng tích phân . . 50 2.3.2 Áp dụng của bất đẳng thức kiểu Jensen dạng dãy . . . . 53 iiChương 3. Một số bất đẳng thức tích phân cho hàm lồi trên không gian đo được và áp dụng 55 3.1 Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2 Bất đẳng thức đối với tích phân cho hàm lồi trên không gian đo . 57 3.3 Áp dụng vào tích phân bậc không nguyên . . . . . . . . . . . . . 60 3.3.1 Bất đẳng thức tích phân kiểu Jensen đối với tích phân bậc không nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.3.2 Bất đẳng thức kiểu Hermite-Hadamard đối với tích phân bậc không nguyên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Chương 4. Hàm lồi suy rộng kiểu H¨ older và áp dụng 69 4.1 Trung bình có trọng kiểu H¨older . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.2 Hàm lồi suy rộng kiểu H¨older . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.3 Các đặc trưng của hàm lồi suy rộng kiểu H¨older dương . . . . . . 79 4.4 Các bất đẳng thức cho hàm lồi suy rộng kiểu H¨older . . . . . . . 86 4.4.1 Các bất đẳng thức kiểu Jensen . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.4.2 Các bất đẳng thức kiểu Popoviciu và Rado . . . . . . . . . 88 4.5 Một số áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.5.1 Tính lồi H¨older của hàm Gamma và áp dụng . . . . . . . . 92 4.5.2 Áp dụng vào chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 4.5.3 Áp dụng vào trung bình lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . 96Kết luận 98Danh mục công trình liên quan 100Tài liệu tham khảo 100Chỉ mục 110 iii ...