Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính hyperbolic của không gian phức và nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân

Mục đích của luận án là: Đưa ra điều kiện cần và đủ cho tính hyperbolic modulo và tính taut modulo một tập con giải tích của miền kiểu Hartogs; đưa ra câu trả lời cho giả thuyết về tính Zalcman của không gian phức Cn; miêu tả nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực của các siêu mặt kiểu vô hạn thông qua không gian vectơ các trường vectơ tiếp xúc chỉnh hình.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận án Tiến sĩ Toán học: Tính hyperbolic của không gian phức và nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân 1 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan những kết quả được trình bày trong luận án là trungthực, mới, đã được công bố trên các tạp chí Toán học trong và ngoài nước.Các kết quả này chưa từng được ai công bố trong bất kỳ một tạp chí nàokhác. Các kết quả viết chung với GS. TSKH Đỗ Đức Thái, GS. Pascal J.Thomas, PGS. TS Nguyễn Văn Trào, TS. Ninh Văn Thu và ThS. Chử VănTiệp đã được sự đồng ý của các đồng tác giả khi đưa vào luận án. Nghiên cứu sinh: Mai Anh Đức 2 LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ dạy tận tình củaGS. TSKH Đỗ Đức Thái. Nhân dịp này, tôi xin được kính gửi tới Thầy lờicảm ơn chân thành và sâu sắc nhất. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới Bộ môn Hình học, Ban Chủ nhiệm KhoaToán - Tin, Phòng Sau Đại học và Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạmHà Nội đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi sớm hoàn thành luận án củamình. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến Bộ môn Đại số - Hình học, BanChủ nhiệm Khoa Toán - Lý - Tin, Ban Giám hiệu Trường Đại học Tây Bắcđã giúp đỡ và tạo điều kiện để tôi yên tâm học tập và nghiên cứu. Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy giáo, cô giáo trongKhoa Toán - Tin thuộc Trường Đại học Sư phạm Hà Nội; Khoa Toán - Lý -Tin thuộc Trường Đại học Tây Bắc; các thành viên seminar Hình học phứcthuộc Khoa Toán - Tin và seminar Đại số Giao hoán - Hình học phức -Phương pháp giảng dạy thuộc Khoa Toán - Lý - Tin; các đồng nghiệp, anhem, bạn bè đã khích lệ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiêncứu, học tập và công tác. Nghiên cứu sinh: Mai Anh Đức. 3 MỤC LỤCLời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Danh mục các kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Tổng quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Chương 1. Tính hyperbolic modulo và tính taut modulo của miền kiểu Hartogs 181.1 Không gian hyperbolic modulo và taut modulo một tập con giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2 Tính hyperbolic modulo S × Cm của miền ΩH (X) . . . . . . . . 231.3 Tính taut modulo S × Cm của miền ΩH (X) . . . . . . . . . . . 28Chương 2. Đường cong giới hạn Brody trong Cn và (C∗ )2 372.1 Tính chuẩn tắc của họ các ánh xạ chỉnh hình nhiều biến phức . 372.2 Vấn đề đường cong giới hạn Brody trong Cn . . . . . . . . . . . 472.3 Vấn đề đường cong giới hạn Brody trong (C∗ )2 . . . . . . . . . . 50Chương 3. Nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân 583.1 Ví dụ về trường vectơ chỉnh hình tiếp xúc với siêu mặt thực nhẵn 583.2 Không gian vectơ thực của các trường vectơ tiếp xúc chỉnh hình 64Kết luận và Kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Danh mục công trình công bố của tác giả . . . . . . . . . . . . 79Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 4 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU• N, Z, Q, R, C: tương ứng là tập số tự nhiên, tập số nguyên, tập số hữu tỷ, tập số thực, tập số phức.• Ω: Một miền trong Cn .• Aut(Ω): Nhóm tự đẳng cấu của miền Ω.• Hol(X, Y ): Không gian các ánh xạ chỉnh hình từ không gian phức X vào không gian phức Y được trang bị tôpô compact mở.• cX : Giả khoảng cách Caratheodory trên không gian phức X.• dX : Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X.• Dr := {z ∈ C : |z| < r}: Đĩa mở bán kính r trong C, ta kí hiệu D1 bởi D.• ρ(a, b) := log |1−ab|+|a−b| |1−ab|−|a−b| , với mọi a, b ∈ D: Khoảng cách Poincare trên D.• ds2F S : Metric Fubini-Study trên Pn (C).• a . b có nghĩa là tồn tại hằng số C > 0, không phụ thuộc vào các tham số sao cho a ≤ Cb.• a & b có nghĩa là tồn tại hằng số C > 0, không phụ thuộc vào các tham số sao cho a ≥ Cb.• a ≈ b có nghĩa là tồn tại các hằng số C1 > 0, C2 > 0 không phụ thuộc vào các tham số sao cho C1 b ≤ a ≤ C2 b.• ΩH (X): Miền kiểu Hartogs. 5• Ωϕ (X): Miền Hartogs.• (M, p): Mầm các siêu mặt thực nhẵn lớp C 1 tại p ∈ Cn .• hol0 (M, p): Không gian vectơ thực gồm tất cả các mầm trường vectơ chỉnh hình (H, p) triệt tiêu tại p và tiếp xúc với M.• (X, p): Mầm trường vectơ nhẵn trên M .• (H, p): Mầm trường vectơ chỉnh hình trong Cn . 6 MỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tài Vào những năm 60 của thế kỷ trước, nhà toán học Nhật Bản ShoshichiKobayashi đã xây dựng trên mỗi không gian phức một giả khoảng cách bấtbiến đối với các tự đẳng cấu chỉnh hình. Giả khoảng cách đó ngày nay đượcgọi là giả khoảng cách Kobayashi. Khi giả khoảng cách Kobayashi trên mộtkhông gian phức trở thành khoảng cách thì không gian phức đó được gọilà không gian phức hyperbolic. Tính hyperbolic của không gian phức chophép chúng ta tiếp cận đến nhiều tính chất hình học của không gian phức. Ta thấy, tính hyperbolic của không gian phức thực chất là kiểm soáttính không suy biến của giả khoảng cách Kobayashi tại hai điểm bất kỳcủa không gian đó. Vì thế, một vấn đề tự nhiên được đặt ra là: Ta có thểthu được những tính chất hình học như thế nào trong trường hợp ta khôngthể kiểm soát được tính không suy biến của giả khoảng cách Kobayashitại một số cặp điểm? Từ ý tưởng trên, S. Kobayashi đã đề xuất khái niệmkhông ...