Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Giải một số phương trình tích phân kỳ dị và áp dụng

Luận văn được chia làm ba chương. Chương 1 trình bày các khái niệm về phương trình tích phân, phương trình tích phân kỳ dị, tích phân theo nghĩa giá trị chính Cauchy. Chương 2 trình bày phương pháp Riemann - Hilbert và áp dụng phương pháp này vào giải một số phương trình tích phân kỳ dị như phương trình tích phân Riemann - Hilbert, Abel, phương trình tích phân kỳ dị với nhân Logarit. Chương 3 trình bày một số phương pháp đặc biệt tìm nghiệm của phương trình tích phân kỳ dị với hạt nhân kỳ dị dạng Cauchy và dạng Logarit.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Giải một số phương trình tích phân kỳ dị và áp dụng ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGÔ ĐỨC HÀGIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN KỲ DỊ VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, NĂM 2014 Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình và nghiêmkhắc của TS. Lê Huy Chuẩn. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũngnhư giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi muốnbày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới quý thầy cô Khoa Toán - Cơ -Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, cũngnhư các thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2011 - 2013, đã có công laodạy dỗ tôi trong suốt quá trình học tập tại Nhà trường. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn đồng nghiệp thân mến đã quantâm, tạo điều kiện và cổ vũ, động viên tôi để tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ củamình. Hà nội, tháng 4 năm 2014 Tác giả luận văn Ngô Đức Hà iMục lục Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii1 Kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Khái niệm phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Phương trình tích phân kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3 Tích phân theo nghĩa giá trị chính Cauchy . . . . . . . . . . . . 3 1.4 Một số kết quả trong lý thuyết hàm biến phức . . . . . . . . . . 4 1.5 Phương trình tích phân kỳ dị trên chu tuyến . . . . . . . . . . . 102 Phương pháp Riemann - Hilbert giải phương trình tích phân trên đường cong mở 12 2.1 Bài toán Riemann - Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Phương trình tích phân Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Giải phương trình tích phân kỳ dị với hạt nhân Logarit . . . . . 21 2.4 Phương trình tích phân kỳ dị với nhân Logarit trên các đoạn rời nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 Một số phương pháp đặc biệt tìm nghiệm của phương trình tích phân kỳ dị 35 3.1 Phương trình tích phân kỳ dị với nhân Logarit . . . . . . . . . . 35 3.2 Phương trình tích phân với hạt nhân Cauchy . . . . . . . . . . . 46 3.3 Sử dụng công thức Poincaré - Bertrand . . . . . . . . . . . . . . 48 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 ii Mở đầu Phương trình tích phân xuất hiện một cách tự nhiên khi nghiên cứu bàitoán giá trị biên của toán học vật lý. Trong quá trình nghiên cứu về phươngtrình tích phân việc đưa giá trị kỳ dị của nhân vào phương trình tích phân đãđặt ra những vấn đề khó nhưng đầy hấp dẫn trong việc tìm nghiệm của phươngtrình tích phân. Các kỹ thuật giải phương trình tích phân kỳ dị đã được xâydựng và phát triển mạnh mẽ trong thế kỷ XXI. Các kỹ thuật này gắn liền vớitên tuổi nhiều nhà toán học nổi tiếng như: Noether, Muskhelishvili, Gakhov,Vekua, B. N. Mandal, A. Chakrabarti, ... Luận văn “Giải một số phương trình tích phân kỳ dị và áp dụng” được chialàm ba chương. Chương 1 trình bày những kiến thức chuẩn bị là cơ sở lý thuyết cho haichương sau, bao gồm các khái niệm về phương trình tích phân, phương trìnhtích phân kỳ dị, tích phân theo nghĩa giá trị chính Cauchy. Sau đó là một sốkết quả trong lý thuyết hàm biến phức: công thức tích phân Cauchy, công thứcPoincaré - Bertrand. Chương 2 trình bày phương pháp Riemann - Hilbert và áp dụng phươngpháp này vào giải một số phương trình tích phân kỳ dị như phương trình tíchphân Riemann - Hilbert , Abel, phương trình tích phân kỳ dị với nhân Logarit. Chương 3 trình bày một số phương pháp đặc biệt tìm nghiệm của phươngtrình tích phân kỳ dị với hạt nhân kỳ dị dạng Cauchy và dạng Logarit. Nhữngphương pháp này tránh được những kỹ thuật phức tạp khi sử dụng phươngpháp biến số phức đã được mô tả ở Chương 2. Các kết quả chính trong chương 2 và chương 3 được trình bày dựa trên tàiliệu tham khảo [5]. iiiChương 1Kiến thức chuẩn bị1.1 Khái niệm phương trình tích phânĐịnh nghĩa 1.1.1. Phương trình tích phân là một phương trình mà trong đóhàm số chưa biết có xuất hiện dưới ...