Luận văn Thạc sĩ Toán học: Biến đổi laplace và một số ứng dụng

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Biến đổi laplace và một số ứng dụng nêu lên biến đổi laplace và một số tính chất cơ bản; một số ứng dụng của biến đổi laplace (nghiệm của phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, nghiệm của phương trình tích phân,...).
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Biến đổi laplace và một số ứng dụng BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Đặng Minh Thế BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Đặng Minh Thế BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN CAM Thành phố Hồ Chí Minh 2012 MỤC LỤCTrang phụ bìaLời cảm ơnMục lụcPHẦN MỞ ĐẦU ........................................................................................................0Chương 1 BIẾN ĐỔI LAPLACE VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN .........3 1.1 Định nghĩa biến đổi Laplace và các ví dụ ................................................................................ 3 1.2 Điều kiện tồn tại cho biến đổi Laplace.................................................................................... 5 1.3 Các tính chất cơ bản của biến đổi Laplace .............................................................................. 8 1.4 Định lý tích chập ................................................................................................................... 12 1.5 Đạo hàm và tích phân của biến đổi Laplace.......................................................................... 14 1.6 Biến đổi Laplace ngược và các ví dụ .................................................................................... 17 1.7 Định lý giá trị đầu, định lý giá trị cuối ................................................................................... 32Chương 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BIẾN ĐỔI LAPLACE .......................34 2.1 Nghiệm của phương trình vi phân thường ............................................................................. 34 2.2 Phương trình đạo hàm riêng ................................................................................................... 56 2.3 Nghiệm của phương trình tích phân ....................................................................................... 73 2.4 Nghiệm của bài toán giá trị biên.............................................................................................. 77 2.5 Nghiệm của phương trình sai phân và vi sai phân ................................................................. 82 2.6 Hàm chuyển và hàm đáp ứng xung của một hệ thống tuyến tính .......................................... 90PHỤ LỤC. MỘT SỐ KIẾN THỨC ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN 95 A. Các hàm đặc biệt ..................................................................................................................... 95 A.1 Hàm Gamma ..................................................................................................................... 95 A.2 Hàm Dirac Delta................................................................................................................ 98 B. Một số định lý quan trọng ....................................................................................................... 99KẾT LUẬN ............................................................................................................105TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................106 1 PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Biến đổi Laplace là một phép biến đổi tích phân quan trọng. Ứng dụng lớnnhất của nó là để giải các phương trình vi phân và các bài toán liên quan (bài toángiá trị biên và bài toán điều kiện đầu). Nguồn gốc của ứng dụng này là ở chỗ biếnđổi Laplace cho phép chuyển từ phép tính vi tích phân trên hàm sang các phép tínhđại số trên ảnh của hàm qua biến đổi Laplace. Các phép biến đổi cho phép chuyểnnhư vậy gọi chung là phép tính toán tử (operational calculus). Biến đổi Laplace được đặt theo tên của nhà toán học và thiên văn học nổi tiếngngười Pháp Pierre Simon Laplace (1749-1827). Laplace nghiên cứu vấn đề này đầutiên vào năm 1782. Tuy nhiên tính hữu dụng của phương pháp này không đượccông nhận. Kỹ thuật thực tế để áp dụng biến đổi Laplace rất hiệu quả như hiện nayđược phát triển khoảng một trăm năm sau bởi kỹ sư điện người Anh là OliverHeaviside (1850-1925). Vì vậy biến đổi Laplace cũng còn được gọi là phép tínhHeaviside (Heaviside calculus). Việc tìm hiểu lý thuyết về Laplace và một số ứng dụng của nó là một trongnhững đề tài có ý nghĩa cho học viên cao học. Vì thế được sự giúp đỡ và hướng dẫncủa thầy Ts. Nguyễn Cam, tôi quyết định chọn đề tài “ Biến đổi Laplace và một sốứng dụng” làm đề tài nghiê ...