Luận văn Thạc sĩ Toán học: Chỉnh hóa lồi và lặp cho bài toán ngược Parabolic trong tài chính định lượng

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Chỉnh hóa lồi và lặp cho bài toán ngược Parabolic trong tài chính định lượng tập trung tìm hiểu về bài toán thuận và bài toán ngược cho định giá quyền chọn; chỉnh hoá Tikhonov cho bài toán xác định độ biến động địa phương, chỉnh hóa lặp cho bài toán xác định độ biến động địa phương.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Chỉnh hóa lồi và lặp cho bài toán ngược Parabolic trong tài chính định lượng BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Vũ AnCHỈNH HÓA LỒI VÀ LẶP CHO BÀI TOÁNNGƯỢC PARABOLIC TRONG TÀI CHÍNH ĐỊNH LƯỢNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Vũ AnCHỈNH HÓA LỒI VÀ LẶP CHO BÀI TOÁNNGƯỢC PARABOLIC TRONG TÀI CHÍNH ĐỊNH LƯỢNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS. TS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 LỜI CẢM ƠN Luận văn này là kết quả của sự làm việc nghiêm túc và cần mẫn, và khôngthể hoàn thành nếu không có sự giúp đỡ của nhiều người. Đầu tiên, tôi xin tỏ lòngbiết ơn sâu sắc đến cha mẹ của tôi vì những lời động viên, hỗ trợ quý báu, để tôi cóthể vượt qua những giai đoạn khó khăn trong quá trình học tập và hoàn thành luậnvăn. Tôi xin chân thành cảm ơn thầy GS.TS. Đặng Đức Trọng, người đã giới thiệutôi vào lĩnh vực Toán tài chính và Lý thuyết bài toán ngược cùng với sự hướng dẫntận tình trong thời gian làm luận văn. Tôi cũng xin cảm ơn quý thầy cô ở trường Đại học Sư phạm Thành phố HồChí Minh đã tận tình dạy dỗ, cho tôi nền tảng kiến thức vững chắc; đặc biệt, xin gửilời cảm ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS. Nguyễn Bích Huy và thầy PGS.TS. NguyễnAnh Tuấn. Xin trân trọng cảm ơn đến quý thầy cô trong hội đồng chấm luận văn thạc sĩđã dành thời gian đọc luận văn của tôi và cho tôi những nhận xét quý báu. Cuối cùng xin gửi lời cảm ơn đến thầy, cô thuộc Phòng quản lý Sau Đại họccủa trường Đại học Sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện thuận lợi giúptôi hoàn thành khóa học. Nguyễn Vũ An. 1 MỤC LỤCLỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 1MỤC LỤC .................................................................................................................... 2LỜI NÓI ĐẦU.............................................................................................................. 4CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................... 6 1.1. Một vài kiến thức cơ bản về toán tài chính ...............................................................6 1.2. Một vài kiến thức cơ bản về giải tích.........................................................................9CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN THUẬN VÀ BÀI TOÁN NGƯỢC CHO ĐỊNH GIÁQUYỀN CHỌN.......................................................................................................... 14 2.1. Bài toán thuận: Phương trình Dupire .....................................................................14 2.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán parabolic ..........................................16 2.3. Các tính chất quan trọng của toán tử F(⋅) ............................................................19 2.4. Bài toán ngược xác định độ biến động địa phương................................................28 2.4.1. Bài toán ngược của định giá quyền chọn châu Âu ...............................................28 2.4.2. Sự không chỉnh của bài toán ngược .....................................................................29 2.5. Một tổng kết về vấn đề xác định độ biến động địa phương ..................................29CHƯƠNG 3: CHỈNH HOÁ TIKHONOV CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐỘBIẾN ĐỘNG ĐỊA PHƯƠNG ................................................................................... 32 3.1. Chỉnh hóa lồi cho bài toán xác định độ biến động địa phương ............................33 3.1.1. Sự tồn tại và ổn định của những nghiệm chỉnh hóa .............................................33 3.1.2. Sự hội tụ của những nghiệm chỉnh hóa ................................................................36 3.1.3. Tốc độ hội tụ với độ đo Bregman ........................................................................38 3.1.4. Sự hội tụ với qui tắc Morozov .............................................................................44 3.2. Hàm chỉnh hóa Kullback-Leibler ............................................................................47 3.2.1. Định nghĩa và các kết quả đã biết ........................................................................47 3.2.2. Chỉnh hóa Tikhonov với hàm Kullback-Leibler ..................................................49CHƯƠNG 4: CHỈNH HÓA LẶP CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH ĐỘ BIẾNĐỘNG ĐỊA PHƯƠNG .............................................................................................. 58 4.1. Chỉnh hóa lặp Landweber trong W21,2 (Ω) ............................................................58 4.2. Chỉnh hóa lặp Landweber trong L2(Ω) ...................................................................61 4.3. Thực thi số ..................................................................................................................68KẾT LUẬN ................................................................................................................ 78TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 80 23 LỜI NÓI ĐẦU Luận văn này đề cập đến việc nghiên cứu các phương pháp chỉnh hóa cho bàitoán xác định tham biến khếch t ...