Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số kết quả về bài toán cực trị

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số kết quả về bài toán cực trị tập trung làm rõ về cực trị có điều kiện, định lý liên kết, đa tạp Nehari. Tài liệu phục vụ cho các bạn chuyên ngành Toán học và những bạn quan tâm tới lĩnh vực này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số kết quả về bài toán cực trị BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh PhongMỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thanh PhongMỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ BÀI TOÁN CỰC TRỊ Chuyên ngành : Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS LÊ HOÀN HÓA Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên em xin chân thành cảm ơn thầy PGS.TS Lê Hoàn Hóa đã tận tìnhchỉ dạy và hướng dẫn em hoàn thành luận văn này. Em cũng chân thành cám ơn các thầy cô trường ĐH Sư phạm TP Hồ ChíMinh, trường ĐH Khoa Học Tự Nhiên TP Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy trongquá trình học tập của em. Các thầy cô trong văn phòng Sau Đại Học đã tạo nhiềuđiều kiện thuận lợi trong quá trình làm luận văn. TP. Hồ Chí Minh, tháng 10 năm 2014 Học viên thực hiện Nguyễn Thanh Phong MỤC LỤCTrang phụ bìaLời cảm ơnMục lụcLỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................................ 1Chương 1. CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN ................................................................... 3 1.1. Cực trị có điều kiện trong không gian hữu hạn chiều....................................... 3 1.1.1. Định nghĩa .................................................................................................. 3 1.1.2. Định lý nhân tử Lagrange ........................................................................... 4 1.1.3. Cực đại - cực tiểu ....................................................................................... 5 1.2. Cực trị có điều kiện trong không gian Banach ................................................. 6 1.2.1. Đa tạp tuyến tính ........................................................................................ 6 1.2.2. Bài toán cực trị có điều kiện tổng quát....................................................... 8Chương 2. ĐỊNH LÝ LIÊN KẾT.......................................................................... 10 2.1. Kiến thức chuẩn bị .......................................................................................... 10 2.2. Bổ đề biến đổi số lượng .................................................................................. 14 2.3. Nguyên lý biến phân Ekeland ......................................................................... 18 2.4. Nguyên lý minimax tổng quát ........................................................................ 20 2.5. Bài toán Dirichlet nửa tuyến tính.................................................................... 24 2.6. Định lý định vị ................................................................................................ 33 2.7. Kỳ dị phi tuyến ............................................................................................... 34Chương 3. ĐA TẠP NEHARI ................................................................................ 42 3.1. Định nghĩa đa tạp Nehari ................................................................................ 42 3.2. Những điều kiện cơ sở .................................................................................... 42 3.3. Những tính chất của giá trị tới hạn ................................................................. 47 3.4. Nghiệm nút ..................................................................................................... 49KẾT LUẬN .............................................................................................................. 56TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 57 1 LỜI MỞ ĐẦUNhiều bài toán biên tương đương với phương trình: Au = 0 (1)Trong đó A : X → Y là ánh xạ giữa hai không gian Banach.Trong bài toán biến phân, tồn tại hàm số ϕ : X →  sao cho A = ϕ ′ ( Đạo hàmGateaux của ϕ ) nghĩa là: ϕ (u + tv) − ϕ (u ) Au , v = lim t →0 tKhông gian Y tương ứng chính là không gian đối ngẫu X ′ của X và phương trình(1) tương đương với ϕ ′(u ) = 0 nghĩa là: ϕ ′(u ), v = 0, ∀v ∈ X ...