Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số vấn đề về đa tạp con của một đa tạp Riemann

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số vấn đề về đa tạp con của một đa tạp Riemann nêu lên đạo hàm thuận biến và dạng cơ bản thứ hai của một đa tạp con của một đa tạp Riemann; phương trình của Gauss và Codazzi; các siêu mặt trong một không gian Euclide,... Mời các bạn tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số vấn đề về đa tạp con của một đa tạp Riemann BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ---------------------------------------- Trần Ngọc Thanh TrangMỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA TẠP CON CỦA MỘT ĐA TẠP RIEMANN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH ---------------------------------------- Trần Ngọc Thanh TrangMỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA TẠP CON CỦA MỘT ĐA TẠP RIEMANNChuyên ngành: Hình học và TôpôMã số: 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. KHU QUỐC ANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 2 LỜI CẢM ƠN Trong quá trình thực hiện luận văn, tôi đã nhận được nhiều sự giúp đỡ vàhỗ trợ. Tôi xin chân thành cảm ơn TS Khu Quốc Anh đã tận tình hướng dẫnvà giúp đở rất nhiều để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Nhân đây tôi cũngmuốn gửi lời cảm ơn đến các Thầy Cô trong tổ Hình học thuộc khoa Toán -Tin, Đại học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh đã nhiệt tình giúp đỡ và góp ýcho luận văn. Tôi cũng xin cảm ơn các quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn đãdành thời gian quan tâm và góp ý để luận văn được hoàn chỉnh hơn. Bên cạnh đó, tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu, Phòng Kế hoạchtài chính, Phòng Khoa học công nghệ và Sau đại học của trường Đại học SưPhạm thành phố Hồ Chí Minh cũng như Ban giám hiệu trường THPT LươngThế Vinh đã tạo mọi điều kiện để tôi có thể hoàn tất chương trình cao học vàhoàn thành luận văn. Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến gia đình, bạn bè và đồngnghiệp đã luôn động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoànthành luận văn thạc sĩ này. 3 MỤC LỤC TrangTrang phụ bìa ....................................................................................... 1Lời cảm ơn ........................................................................................... 2Mục lục ................................................................................................ 3Mở đầu ................................................................................................. 6Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .........................81.1.Đa tạp khả vi .................................................................................. 8 1.1.1.Đa tạp khả vi ............................................................................ 8 1.1.1.1.Đa tạp khả vi n chiều .......................................................... 8 1.1.1.2. Ánh xạ khả vi..................................................................... 9 1.1.2. Không gian tiếp xúc và phân thớ tiếp xúc ................................ 9 1.1.2.1. Định nghĩa về không gian vectơ tiếp xúc Tp M .................. 10 1.1.2.2. Phân thớ tiếp xúc ............................................................... 11 1.1.2.3. Trường vectơ ..................................................................... 12 1.1.2.4. Trường mục tiêu ................................................................ 12 1.1.2.5. Tích Lie của hai trường vectơ ............................................ 12 1.1.2.6. Ánh xạ tiếp xúc .................................................................. 13 1.1.3. Đa tạp con ............................................................................... 14 1.1.4. Trường tenxơ ........................................................................... 14 1.1.4.1. Tích tenxơ......................................................................... 14 1.1.4.2. Các tenxơ phản biến và hiệp biến ..................................... 15 1.1.4.3. Trường tenxơ .................................................................... 161.2. Lý thuyết liên thông ...................................................................... 18 1.2.1. Định nghĩa liên thông tuyến tính trên đa tạp ............................ 18 1.2.2. Đạo hàm thuận biến của trường tenxơ ..................................... 20 1.2.3. Tenxơ xoắn và tenxơ cong ....................................................... 20 4 1.2.4. Đường trắc địa ......................................................................... 211.3. Đa tạp Riemann ............................................................................. 23 1.3.1. Khái niệm đa tạp Riemann....................................................... 23 1.3.2. Liên thông Riemann ................................................................ 23 1.3.2.1. Định nghĩa liên thông Riemann ......................................... 23 1.3.2.2. Định lý ............................................................................... 23 1.3.3. Liên thông Levi – Cita ............................................................. 25 1.3.3.1. Định nghĩa ......................................................................... 25 1.3.3.2. Định lý ............................................................................... 25 1.3.4. Độ cong trên đa tạp Riemann ................................................... 26 1.3.4.1. Những khảo sát đại số có liên quan .................................... 26 1.3.4.2. Độ cong thiết diện.............................................................. 27 1.3.4.3. Độ cong Ricci .................................................................... 27 1.3.5. Ánh xạ đẳng cự giữa các đa tạp ...