Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình Parapolic liên kết với một bài toán Cauchy cho một phương trình vi phân thường

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình Parapolic liên kết với một bài toán Cauchy cho một phương trình vi phân thường trình bày về những kiến thức cần chuẩn bị, sự tồn tại và duy nhất nghiệm, khảo sát tính đơn điệu và một số nội dung khác.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình Parapolic liên kết với một bài toán Cauchy cho một phương trình vi phân thường BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH __________________________ Nguyễn Trần Quang VinhChuyên ngành : Toán Giải TíchMã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THÀNH LONG Thành phố Hồ Chí Minh – 2009 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy TS. Nguyễn Thành Long về sựhướng dẫn tận tình trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn Thầy TS. Trần Minh Thuyết đã có những nhận xét, chỉ bảo, vànhững góp ý hết sức quan trọng trong quá trình thực hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn Thầy PGS. TS. Nguyễn Bích Huy, cùng các Quý Thầy trong hộiđồng đã dành cho tôi thời gian, công sức để đọc và có những góp ý sâu sắc cho bản luận văn. Xin trân trọng cảm ơn TS. Lê Thị Phương Ngọc đã có những nhận xét và chỉ bảo trong quátrình tôi thực hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn các Quý Thầy Cô thuộc Khoa Toán – Tin học trường Đại học Sưphạm TP. Hồ Chí Minh đã truyền đạt những kiến thức, kinh nghiệm quý báu cho tôi trong suốtthời gian học tập tại trường. Xin cảm ơn các anh chị và các bạn trong lớp Cao học giải tích khóa 17, cũng như các anhchị và các bạn trong nhóm xemina do các Thầy hướng dẫn tổ chức đã hỗ trợ tôi nhiều mặt trongthời gian học tập và nghiên cứu. Xin chân thành cảm ơn UBND tỉnh An Giang, trường THPT Nguyễn Hữu Cảnh, ThầyThS. Nguyễn Đình Phùng đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi được học tập và hoàn thành luậnvăn này. Và cuối cùng, lời thân thương nhất tôi xin được gửi đến gia đình tôi, nơi đã tạo cho tôi mọiđiều kiện thuận lợi để học tập và hoàn thành luận văn này. NGUYỄN TRẦN QUANG VINH DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU- a.e. : hầu hết. i.e. : nghĩa là.-    0,1 , QT     0, T  .- C 0 [0, T ]  C [0, T ] là không gian các hàm liên tục trên đoạn [0, T ].- D 0,T  là tập hợp các hàm số khả vi vô hạn lần và có giá compact trong  0,T  .- D  0,T  là không gian đối ngẫu của D 0,T  hay là không gian các hàm phân bố trên  0,T  .- L  X ;Y   { f : X  Y f tuyến tính, liên tục}.- X ↪ Y : phép nhúng liên tục từ không gian X vào không gian Y .- Lp  Lp ()  {v :    p  | v( x) | dx  } với 1  p   .  - L  L     v :    M : v  x   M a.e. x   . - ||  ||X dùng để chỉ chuẩn trên không gian X.- ||  || chuẩn trong không gian L2    . 1 neáu x  A,- Hàm đặc trưng  A  x    0 neáu x  A. u- Ký hiệu u (t ) , u (t )  ut (t )  u (t ) , u x (t )  u(t ) , uxx (t )  u (t ) , lần lượt để chỉ u( x, t ), ( x, t ) , tu  2u ( x , t ) , 2 ( x, t ) .x x Chương 1 PHẦN TỔNG QUAN  ©  Trong luận văn này, chúng tôi xét phương trình parabolic phi tuyến t u   u     h ( x, t )u     x, t  u  f ( x, t )     u   k  t    u( x, )d , t x  x  0 (1.1) 0  x  1, 0  t  T ,liên kết với điều kiện biên  u  x (0, t )  h(0, t )u (0, t )  0,  (1.2)  u (1, t )  h(1, t )u (1, t )  0, 0  t  T ,  xvà điều kiện đầu u( x,0)  u0  x  , 0  x  1, (1.3)trong đó, các hàm số f , k , h,  , u0 và các hằng số  ,  được cho trước. Bài toán (1.1) – (1.3) có liênquan đến bài toán khuếch tán trong hóa học (xem [5] - [8] và các tài liệu tham khảo trong đó) mà mấuchốt vấn đề về mặt toán học dẫn đến bài toán sau. Cho    0,1 , ta đặt QT     0, T  , T  0. Tìm cặp hàm  u, v  thỏa bài toán sau: u   u   t  x  x  h ( x, t )u   F1  u, v  , 0  x  1, 0  t  T ,     u  (0, t )  h (0, t )u (0, t )  0, 0  t  T ,  x (1.4)  u  (1, t )  h (1, t )u (1, t )  0, 0  t  T ,  x u ( x,0)  u0 ( x ), 0  x  1,  v   F2  u, v  , 0  x  1, 0  t  T ,  t (1.5) v ( x,0)  v0 ( x ), 0  x  1,trong đó, h( x, t ), u0  x  , v0  x  cho trước, các số hạng F1  u, v  , F2  u, v  có dạng cụ thể  F1  u , v   1  2 u  3 v   4 uv,   F2  u , v   1   2 u  3 v, (1.6)    0,   0, i  1, 2,3.  i i Ta xem (1.5) như là phương trình vi phân thường  v   3v  1  2 u, 0  x  1, ...