Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình sóng phi tuyến chứa số hạng Kirchhoff có nguồn phi tuyến

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình sóng phi tuyến chứa số hạng Kirchhoff có nguồn phi tuyến bao gồm những nội dung về sự tồn tại và duy nhất nghiệm - trường hợp điều kiện biên thuần nhất; sự tồn tại và duy nhất nghiệm - trường hợp điều kiện biên không thuần nhất.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình sóng phi tuyến chứa số hạng Kirchhoff có nguồn phi tuyến BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH NGUYỄN PHÚC BÌNHPHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN CHỨA SỐ HẠNG KIRCHHOFF CÓ NGUỒN PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60. 46. 01 Thành phố Hồ Chí Minh - 2010 LỜI CẢM ƠN Lờiđầutiên,tôitrântrọngkínhgửiđếnThầyTS.TrầnMinhThuyếtlờicảm ơn sâu sắc nhất về sự tận tình hướng dẫn, chỉ bảo của thầy đối với tôitrongsuốtquátrìnhhọctậpvàhoànthànhluậnvănnày. Qua luận văn này, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy TS.NguyễnThànhLong,ngườiđãđọcvàchonhiềuchỉdẫnhếtsứcquýbáuđốivớiluậnvăncủatôi.LòngsaymênghiêncứukhoahọcvàsựtậntụycủaThầyđốivớihọctròlàtấmgươngsángđểthếhệtrẻnoitheo. XinchânthànhcảmơnQuýThầy,CôKhoaToán–TinhọctrườngĐạihọcSưPhạmThànhphốHồChíMinhđãtậntìnhgiảngdạyvàtruyềnđạtchotôinhiềukiếnthứckhoahọctrongsuốtkhóahọc. XinchânthànhcảmơnQuýThầy,CôthuộcPhòngKhoahọcCôngnghệ‐Sauđạihọc,TrườngĐạihọcSưPhạmTP.HCMđãtạomọiđiềukiệnthuậnlợiđểtôihoàntấtchươngtrìnhhọcvàhoànthànhluậnvăn. Xinchânthành cảm ơnBanGiámHiệu, QuýThầy, CôthuộcKhoaSưphạm Khoa học Tự nhiên nói riêng và Quý Thầy Cô của trường Đại học SàiGònnóichungđãđộngviênvàtạomọiđiềukiệnthuậnlợiđểtôihoànthànhchươngtrìnhhọc. XincảmơnanhHồQuangĐứcvàcácbạnlớpCaohọcToánGiảiTíchkhóa 18 cùng các anh chị trong nhóm seminar định kỳ do Thầy TS. NguyễnThànhLongvàThầyTS.TrầnMinhThuyếttổchức,đãtraođổivàthảoluậncácđềtàiliênhệđếnluậnvănnày. Cuốicùng,tôixinbàytỏlòngtriânsâusắcnhấttớimọingườitronggiađìnhtôi,nhữngngườiđãhếtlònglolắngchotôi,luônởbêntôi,độngviênvàgiúpđỡtôitrongsuốtquátrìnhhọctập,nghiêncứuvàhoànthànhluậnvăn. Vì kiến thức của bản thân còn nhiều hạn chế nên luận văn khó tránhkhỏinhữngthiếusót,rấtmongnhậnđượcsựchỉbảocủaQuýThầy,Côvàsựgópýchânthànhcủabạnbè,đồngnghiệp. Nguyễn Phúc Bình Chương 1 TỔNG QUAN Sự tồn tại và duy nhất nghiệm trong nhiều bài toán về phương trình sóng phi tuyếnlà đề tài được quan tâm bởi nhiều tác giả, chẳng hạn như trong [2, 4 – 10] và các tài liệutham khảo trong đó. Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát phương trình sóng phi tuyếnchứa số hạng Kirchhoff liên kết với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất sau đây. Tìm hàm u thoả phương trình sóng phi tuyến tính có dạng utt − B(t,||ux (t )||2 )uxx = f (x , t, u ), 0 < x < 1, 0 < t < T , (1.1)với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất u(0, t ) = 0, ux (1, t ) = g(t ), (1.2)và điều kiện đầu u(x , 0) = u0 (x ), ut (x , 0) = u1(x ), (1.3)trong đó u0, u1, B, f là các hàm cho trước thỏa các điều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau và sốhạng phi tuyến B(t,||ux (t )||2 ) phụ thuộc vào tích phân 1 ||ux (t )||2 = ∫ 0 ux2 (x , t )dx . (1.4) Trong trường hợp N = 1 và Ω = (0, L), phương trình (1.1) được tổng quát hóa từphương trình sau đây mô tả dao động phi tuyến của một sợi dây đàn hồi [2] L Eh ∂u ρhutt = (P0 + 2L ∫ | ∂y (y, t ) |2 dy )) uxx , 0 < x < L, 0 < t < T . (1.5) 0 N. T. Long, A. P. N. Định và T. N. Diễm trong [4] đã dùng phương pháp xấp xỉtuyến tính để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán 1 ( 0 x ) ⎧⎪u − b + B(||u (t )||2 ) u = f (x , t, u, u , u ), (x , t ) ∈ (0,1) × (0,T ), ⎪⎪ tt xx x t ⎪⎪ ⎪u(0, t ) = u(1, t ) = 0, (1.6) ⎨ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪u(x , 0) = u0 (x ), ut (x , 0) = u1(x ). ⎩ Trong [5] N. T. Long và B. T. Dũng đã khảo sát sự tồn tại và duy nhất nghiệm chobài toán ⎧ ⎪utt − B(||ux (t )||2 )uxx = f (x , t, u, ux , ut ,||ux (t )||2 ), 0 < x < 1, 0 < t < T , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ux (0, t ) − h0u(0, t ) = u(1, t ) = 0, (1.7) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪u(x , 0) = u0 (x ), ut (x , 0) = u1(x ). ⎪ ⎩ Sau đó, các tác giả khai triển tiệm cận nghiệm đến cấp N + 1 của bài toán ⎧ ⎪utt − Bε (||ux ||2 )uxx = Fε (x , t, u, ux , ut ,||ux ||2 ), 0 < x < 1, 0 < t < T , ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ux (0, t ) − h0u(0, t ) = u(1, t ) = 0, ⎪ ⎪ ⎪ ⎪u(x , 0) = u (x ), u (x , 0) = u (x ), ⎨ ...