Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên chứa số hạng Memory ở một phần biên trái

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên chứa số hạng Memory ở một phần biên tráinêu tổng quan về bài toán khảo sát trong luận văn; sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán; khảo sát tính trơn của nghiệm và một số nội dung khác.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên chứa số hạng Memory ở một phần biên trái BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH Nguyễn Bằng Phong PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN CHỨA SỐ HẠNG MEMORY Ở MỘT PHẦN BIÊN TRÁI.Chuyên ngành : Toán Giải tíchMã số : 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THÀNH LONG Thành phố Hồ Chí Minh 2009 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tôi xin kính gởi đến TS. Nguyễn Thành Long, lời cám ơn sâusắc về sự giúp đỡ tận tình của Thầy đối với tôi trong suốt khóa học và nhất làtrong việc hoàn thành luận văn này. Xin chân thành cám ơn PGS. TS Nguyễn Bích Huy và TS. Lê Thị PhươngNgọc, cùng tất cả quý Thầy Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã dành thời gianđọc và cho những ý kiến quý báu cũng như những lời phê bình bổ ích đối với luậnvăn của tôi. Tôi cũng xin cám ơn tất cả quý Thầy Cô Khoa Toán của Trường Đại học Sưphạm TP. Hồ Chí Minh và Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP. Hồ Chí Minhđã tận tình giảng dạy và truyền đạt những kiến thức bổ ích trong suốt khóa học tạiTrường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh. Xin cám ơn quý Thầy Cô công tác tại Phòng Khoa học Công nghệ - Sau Đạihọc, Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi vềmặt thủ tục hành chính cho tôi trong suốt khóa học. Xin gởi lời cám ơn đến Ban Giám hiệu và đồng nghiệp của Trường THPTchuyên Lê Quý Đôn, Ninh Thuận đã tạo điều kiện và khích lệ tôi trong suốt quátrình học. Xin chân thành cám ơn các bạn trong nhóm sinh hoạt chuyên môn, nhất là cácanh Phạm Thanh Sơn, ThS Nguyễn Văn Ý - những người đã đóng góp cho tôinhững ý kiến hết sức quý báu về chuyên môn, cũng như tạo điều kiện thuận lợi đểtôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin cám ơn các bạn học viên Cao học Khóa 17 và các bạn đồng nghiệpđã hỗ trợ tôi trong thời gian học. Cuối cùng, tôi xin gởi lời cám ơn sâu sắc đến gia đình tôi, là chỗ dựa cho tôivề mọi mặt và dành mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và hoàn thành luận vănnày. Nguyễn Bằng Phong 1 Chương 1. PHẦN MỞ ĐẦU Trong luận văn này chúng tôi xét bài toán sau: Tìm một cặp hàm u, P  thỏa: utt  (t )uxx  ut  F (u )  f (x , t ), 0  x  1, 0  t  T ,  (t )ux (0, t )  P (t ),  (1.1) (t )ux (1, t )  hu(1, t )  0,  u(x , 0)  u% 0 (x ), ut (x , 0)  u%1(x ), trong đó t P (t )  g(t )   k (t  s )u(0, s )ds, (1.2) 0,h là các hằng số cho trước, , u%0 , u%1, g, f , F , k là các hàm cho trước thỏa cácđiều kiện mà ta sẽ chỉ ra sau. Trong [5], Nguyen Thanh Long, Le Van Ut và Nguyen Thi Thao Truc đã thiết lậpmột định lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán (1.1)(1), (1.1)(4) với điều kiện biên: u(0, t )  0,   (1.3) (t )ux (1, t )  Q (t ), trong đó t Q(t )  K 1(t )u(1, t )  1(t )ut (1, t )  g(t )   k (t  s )u(1, s )ds, (1.4) 0 g, K 1, 1 là các hàm cho trước. Tổng quát hóa kết quả trong [5], Le Thi Phuong Ngoc, Le Nguyen Kim Hang,Nguyen Thanh Long đã xét một dạng khác của bài toán (1.1)(1), (1.1)(4) với điềukiện biên:  t (0, t )u (0, t )  g (t )  k (t  s )u(0, s )ds,  x 0  0  0 (1.5)  t (1, t )ux (1, t )  g1(t )   k1(t  s )u(1, s )ds,  0mà (1.3)- (1.4) được xét như một trường hợp riêng. 2 Bài toán (1.1)- (1.2) được khảo sát trong luận văn này là một sự tổng quát hóamột phần kết quả trong [5] với F là một hàm theo u , đồng thời đây cũng là mộtdạng khác của bài toán được khảo sát trong [9]. Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm toàncục của bài toán (1.1)-(1.2). Việc chứng minh được dựa vào phương pháp xấp xỉGalerkin, các kỹ thuật đánh giá tiên nghiệm cùng với các kỹ thuật hội tụ yếu dựavào tính compact. Dựa vào kết quả này, chúng tôi tiến đến việc khảo sát tính trơn,  tính ổn định của nghiệm theo một bộ dữ liệu j , j , h j , g j , k j , f j với F , u% 0, u%1 làcác hàm cố định cho trước. Cuối cùng là kết quả về việc nghiên cứu khai triển tiệmcận theo một tham số  khi   0 cho bài toán: Lu  u  (t )u  F (u )  u  f (x , t ), 0  x  1, 0  t  T ,  tt xx t  Q%  L0u  (t )ux (0, t )  P(t ), L1u  (t )ux (1, t )  hu(1, t ),   u(x , 0)  u% 0 (x ), ut (x , 0)  u%1(x ),  ttrong đó P (t )  g(t )   k (t  s )u(0, s )ds. 0 Theo kết quả về khai triển tiệm cận của bài toán Q%  , chúng tôi đã xấp xỉđược nghiệm y ...