Luận văn: VỀ NGUYÊN LÝ NHÂN TỬ LAGRANGE

Trong cuộc sống, ai cung mong muốn công việc hàng ngày của mình÷ợc hoàn thành một cách tốt nhất. Ai cung tự ặt ra hai câu hỏi chính:Làm thế nào ể công việc hoàn thành tốt nhất, và khi tốt nhất thì ÷ợc cáigì? Nh÷ vậy, chẳng qua mọi ng÷ời cung phải giải các bài toán tối ÷u củamình theo một nghia nào ó. Một vấn ề quan trọng nhất ặt ra cho mỗibài toán tối ÷u là: Với iều kiện nào, bài toán có nghiệm, và nếu có nghiệmiều gì sẽ xảy ra. Tất nhiên, iều kiện càng ìn...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn: VỀ NGUYÊN LÝ NHÂN TỬ LAGRANGE 1 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM PHÚC LONG VỀ NGUYÊN LÝ NHÂN TỬ LAGRANGE Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. TRƯƠNG XUÂN ĐỨC HÀ Thái Nguyên- Năm 2010Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 MỤC LỤC Mở đầu: ................................................................................................... 2 Chương I. NGUYÊN LÝ NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU TRƠN. 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị .................................................................5 1.1.1 Khả vi Gateaux và khả vi Frechet .................................................5 1.1.2 Định lý Hahn-Banach, bổ đề về linh hóa tử ..................................9 1.1.3 Định lý Ljusternik, định lý hàm ẩn .............................................10 1.2 Điều kiện cần đủ cho bài toán tối ưu trơn ......................................12 1.2.1 Phát biểu bài toán ........................................................................12 1.2.2 Trường hợp hữu hạn chiều ..........................................................17 1.2.3 Trường hợp tổng quát .................................................................27 Chương II. NGUYÊN LÝ NHÂN TỬ LAGRANGE CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU LỒI. 2.1 Một số kiến thức cơ bản của giải tích lồi ........................................31 2.1.1 Tập lồi .........................................................................................31 2.1.2 Hàm lồi .......................................................................................32 2.1.3 Tập Affine ...................................................................................34 2.1.3 Các định lý tách ...........................................................................35 2.1.4 Dưới vi phân của hàm lồi ............................................................36 2.1.6 Định lý cơ bản về dưới vi phân của tổng các hàm lồi ...................38 2.2 Điều kiện cần đủ cho bài toán tối ưu lồi .........................................43 2.2.1 Bài toán không có ràng buộc .......................................................44 2.2.2 Bài toán với ràng buộc đẳng thức ................................................44 2.2.3 Bài toán với ràng buộc bất đẳng thức ..........................................47 KẾT LUẬN ..............................................................................................55 TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................56Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 MỞ ĐẦU Trong cuộc sống, ai cũng mong muốn công việc hàng ngày của mình được hoàn thành một cách tốt nhất. Ai cũng tự đặt ra hai câu hỏi chính: Làm thế nào để công việc hoàn thành tốt nhất, và khi tốt nhất thì được cái gì? Như vậy, chẳng qua mọi người cũng phải giải các bài toán tối ưu của mình theo một nghĩa nào đó. Một vấn đề quan trọng nhất đặt ra cho mỗi bài toán tối ưu là: Với điều kiện nào, bài toán có nghiệm, và nếu có nghiệm điều gì sẽ xảy ra. Tất nhiên, điều kiện càng đơn giản thì việc tìm nghiệm càng dễ. Biết được điều gì xảy ra nếu có lời giải, thì việc tìm ra lời giải càng dễ dàng hơn. Ta biết trong bài toán tối ưu có hai đối tượng quan trọng: Tập chấp nhận được (hay tập ràng buộc) và Hàm mục tiêu xác định trên tập đó. Vậy thì khi xét đến điều kiện để tồn tại nghiệm tối ưu, ta phải quan tâm tới các điều kiện, tính chất của hai đối tượng ấy. Để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và tìm ra phương pháp giải nghiệm, người ta thường phân loại các bài toán theo cấu trúc của tập chấp nhận được và tính chất hàm mục tiêu của bài toán. Trong luận văn này, tác giả đề cập tới hai loại bài toán chính sau: 1. Bài toán tối ưu trơn với ràng buộc đẳng thức. Cụ thể: Cho X , Y là các không gian Banach, hàm f xác định trên X , ánh xạ F : X −→ Y . Bài toán: f (x) −→ in f F (x) = 0. được gọi là bài toán tối ưu trơn với ràng buộc đẳng thức ...