Một số bài toán số học liên quan đến lũy thừa - Phạm Văn Quốc

Một số khai triển liên quan đến lũy thừa, định lý Fermat, hàm Euler, cấp order của một số nguyên, bài tập áp dụng liên quan đến lũy thừa là những nội dung chính trong tài liệu "Một số bài toán số học liên quan đến lũy thừa". Mời các bạn cùng tham khảo nội dung tài liệu để có thêm tài liệu học tập và ôn thi.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số bài toán số học liên quan đến lũy thừa - Phạm Văn Quốc www.VNMATH.com MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ HỌC LIÊN QUAN ĐẾN LŨY THỪA Phạm Văn Quốc (Trường THPT chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Trong các kỳ thi học sinh giỏi chúng ta hay gặp các bài toán số học liên quanđến lũy thừa như chứng minh sự chia hết, chứng minh sự tồn tại hoặc tìm cácsố nguyên thỏa mãn điều kiện,... Trong những năm gần đây, dạng toán này cũngxuất hiện nhiều trong các đề thi quốc gia, đề thi chọn đội tuyển thi quốc tế(CĐT) của các nước, các đề dự tuyển và các đề thi Toán quốc tế (IMO). Đây lànhững bài toán hay và tất nhiên không dễ nếu không nắm được một số kỹ thuậtcũng như nhận dạng được kiểu bài toán. Các lời giải thường sử dụng công cụkhông khó nhưng chứa đựng nhiều sự tinh tế và sự linh hoạt trong vận dụng kiếnthức. Bài viết dưới đây đề cập đến một số kiến thức cơ bản và kỹ năng liên quanđến các bài toán dạng này.I. Kiến thức cơ bản Trong phần này là một số kiến thức cơ bản nhưng chúng hay được dùng trongcác dạng toán mà ta đang xét: công thức lũy thừa, số mũ đúng, định lý Fermat,Định lý Euler, cấp của số nguyên và một số tính chất liên quan hay dùng .1. Một số khai triển liên quan đến lũy thừaĐịnh lý 1. Cho ? là số nguyên dương, khi đó với ?, ? bất kỳ ta có ∘ ?? − ? ? = (? − ?) (??−1 + ??−2 ? + ??−3 ? 2 + · · · + ?? ?−2 + ? ?−1 ) , ∘ ?? + ? ? = (? + ?) (??−1 − ??−2 ? + ??−3 ? 2 − · · · − ?? ?−2 + ? ?−1 ) nếu ? lẻ, ∘ (? + ?)? = ?? + ??1 ??−1 ? + ??2 ??−2 ? 2 + · · · + ???−1 ?? ?−1 + ? ? . Ta hãy bắt đầu bằng ví dụ sau.Ví dụ 1. (Romania 2002) Cho ?, ? là các số nguyên dương với ? > 2. Chứngminh rằng phương trình ?? − ? ? = 2?không có nghiệm nguyên dương. Lời giải. Giả sử phương trình có nghiệm nguyên dương (?, ?). Nếu gcd (?, ?) = ? >1 ⇒ ? | 2? nên ? là lũy thừa của 2. Bằng cách chia hai vế cho ?? , ta có thể giả sửgcd (?, ?) = 1 và suy ra ?, ? lẻ. 1 www.VNMATH.com Nếu ? chẵn, ? = 2? ta có ?? − ? ? = (?? − ? ? ) (?? + ? ? ) nên (︀ ?? − ?)︀? =2? , ?? + ? ? = 2?−? với ? là số nguyên dương. Khi đó ?? = 2?−1 1 + 2?−2? mà? lẻ nên ? = 1. Hơn nữa vì ? ≥ 2 nên ?? − ? ? = (? − ?) ??−1 + ??−2 ? + · · · + ? ?−1 > 2 (︀ )︀mâu thuẫn. Do đó ? là số lẻ. Ta có ?? − ? ? = (? − ?) ??−1 + ??−2 ? + · · · + ? ?−1 . (︀ )︀Nhưng do ?, ? lẻ nên ??−1 + ??−2 ? + · · · + ? ?−1 ≡ ? ≡ 1 (mod 2). Suy ra ??−1 +??−2 ? + · · · + ? ?−1 = 1, điều này là không thể vì ?, ? nguyên dương và ? > 2. Vậyphương trình đã cho vô nghiệm. Lời giải của ví dụ này chủ yếu dùng công thức của hiệu hai lũy thừa và tínhchất tích của hai số nguyên dương là lũy thừa của 2 thì mỗi số là lũy thừa của 2.Ví dụ tiếp theo cũng có ý giải cũng gần giống nhưng cần một chút khéo léo hơn.Ví dụ 2. (Dự tuyển IMO 2008) Cho ? là số nguyên dương và ? là số nguyên tố.Chứng minh rằng nếu ?, ?, ? là các số nguyên (không nhất thiết dương) thỏa mãnđẳng thức ?? + ?? = ?? + ?? = ?? + ??thì ? = ? = ?. Lời giải. Ta chứng minh bài toán bằng phản chứng. Rõ ràng nếu hai trong ba số ?, ?, ?bằng nhau thì tất cả chúng bằng nhau. Giả sử cả ba số phân biệt đôi một, khiđó theo giả thiết ta có ?? − ?? ?? − ?? ?? − ?? . . = −?3 . ?−? ?−? ?−?Vì vế phải âm nên có ít nhất một trong ba số ?, ?, ? là số âm. Hơn nữa ? phải làsố chẵn (nếu trái lại suy ra mỗi thừa số ở vế trái là số dương). +, Nếu ? là số lẻ, mà ?? − ?? 2- = ??−1 + ??−2 ? + · · · + ??−1 . ?−?Suy ra ?, ? khác tính chẵn lẻ, tức là 2 - ? − ?. Tương tự 2 - ? − ?, 2 - ? − ? đây làđiều mâu thuẫn. +, Nếu ? = 2. Rõ ràng nếu một trong ba số ?, ?, ? bằng 0 thì cả ba số bằng 0.Xét |?| , |?| , |?| ≥ 1. Đặt ? = 2? ta có ?? − ?? ?2? − ?2? ? = = (? + ?) 2 ?−? ? − ?2 2 www.VNMATH.com = (? + ?) ?2?−2 + ?2?−4 ?2 + · · · + ?2?−2 . (︀ )︀Dễ thấy nếu ? > 1 ta có ngay |?| ≥ 4 (do ? ̸= 0) và tương tự suy ra mâu thuẫnvì tích của chúng là −8. Do đó ? = 1 ⇒ ? = 2 và ta thu được (? + ?) (? + ?) (? + ?) = −8.Chú ý là do ? = 2 nên từ giả thiết ta có ...