Định giá p-adic và ứng dụng

Bài viết "Định giá p-adic và ứng dụng" xem xét một số ứng dụng của định giá p-adic vào giải quyết các bài toán số học liên quan và định giá p−adic của số tự nhiên n. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Định giá p-adic và ứng dụng Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018 ĐỊNH GIÁ p-ADIC VÀ ỨNG DỤNG Phan Ngọc Toàn Trường THPT Số 1 An Nhơn Bình Định Tóm tắt nội dung Trong bài viết này, ta xem xét một số ứng dụng của định giá p-adic vào giải quyết các bài toán số học liên quan.1 Kiến thức cơ sởĐịnh nghĩa 1. Số v p (n) được ký hiệu cho số mũ của p trong phân tích tiêu chuẩncủa n và quy ước v p (n) = 0 khi p không là ước của n. Số v p (n) được gọi là định giáp − adic của số tự nhiên n.Tính chất 1. Cho x, y, z là các số nguyên. Khi đó (1) v p ( xy) = v p ( x ) + v p (y) . (2) v p ( x n ) = n.v p ( x ) . (3) v p ( x + y) > min { v p ( x ) , v p (y) } . Dấu “=” xảy ra⇔ v p ( x ) 6= v p (y) . (4) v p (gcd (| x | , |y| , |z|)) = min { v p ( x ) , v p (y) , v p (z) } . (5) v p (lcm (| x | , |y| , |z|)) = max { v p ( x ) , v p (y) , v p (z) } . (6) x = y khi và chỉ khi υ p ( x ) = υ p (y), ∀ p ∈ ℘.Bổ đề 1. Cho x, y là các số nguyên (không nhất thiết nguyên dương) và n là một sốnguyên dương. Cho p là số nguyên tố bất kỳ (đặc biệt, có thể p = 2) sao cho p| x − yvà (n, p) = ( x, p) = (y, p) = 1. Khi đó v p ( x n − yn ) = v p ( x − y) . 152 Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018Bổ đề 2. Cho x, y là các số nguyên (không nhất thiết nguyên dương) và n là một sốnguyên dương lẻ. Cho p là số nguyên tố bất kỳ (đặc biệt, có thể p = 2) sao cho p| x + yvà (n, p) = ( x, p) = (y, p) = 1. Khi đó v p ( x n + yn ) = v p ( x + y) .Định lý 1. Cho x và y là các số nguyên (không nhất thiết phải nguyên dương), n làmột số nguyên dương và p là một số nguyên tố lẻ sao cho p| x − y và ( x, p) = (y, p) =1. Khi đó v p ( x n − yn ) = v p ( x − y) + v p (n) .Định lý 2. Cho x, y là hai số nguyên, n là một số nguyên dương lẻ và p là số nguyêntố lẻ sao cho p| x + y và ( x, p) = (y, p) = 1. Khi đó v p ( x n + yn ) = v p ( x + y) + v p (n) .Định lý 3. Cho x và y là hai số nguyên lẻ sao cho 4|( x − y). Khi đó v2 ( x n − y n ) = v2 ( x − y ) + v2 ( n ) .Định lý 4. Cho x, y là hai số nguyên lẻ và n là một số nguyên dương chẵn. Khi đó v2 ( x n − yn ) = v2 ( x − y) + v2 ( x + y) + v2 (n) − 1.Hệ quả 1. Cho x và n là các số nguyên dương. Khi đó (1) Nếu p > 2 là số nguyên tố sao cho v p ( x − 1) = α ∈ N∗ thì với mọi β ∈ N, ta có v p ( x n − 1) = α + β ⇔ v p (n) = β. (2) Nếu n chẵn sao cho v2 x2 − 1 = α ∈ N thì với mọi β ∈ N∗ , ta có v2 ( x n − 1) = α + β ⇔ v2 (n) = β + 1.Định lý 5 (Legendre). Cho p nguyên tố. Khi đó, ta có công thức: +∞ n − s p (n) n v p (n!) = ∑ i = . i =1 p p − 1 j k j k n nChứng minh. Trong đẳng thức đầu tiên, ta thấy rằng có đúng pi − p i +1 số m thỏa smãn điều kiện v p (m) = i, còn trong đẳng thức thứ hai, ta viết lại n = ∑ ni pi thì dễ i =0 j k s nthấy p j = ∑ ni p .i − j i= j 153 Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018 Khi đó ta có ! s s s s i −1 n ∑ pj = ∑ ∑ ni pi − j = ∑ ni ∑ p j j =1 j =1 i = j i =1 j =0 s pi −1 n − s p ( ...