Sách Chuyên đề số học: Phần 2

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 gồm có 4 chương. Chương 4 và 5 trình bày về phương trình nghiệm nguyên và phương trình đồng dư. Hệ thặng dư và định lý Thặng dư Trung Hoa sẽ được gửi đến chúng ta qua chương 6 trước khi kết thúc chuyên đề bằng một số bài toán số học hay trên VMF ở chương 7. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Sách Chuyên đề số học: Phần 2Chương 4 Phương trình nghiệm nguyên 4.1 Xét tính chia hết 57 4.2 Sử dụng bất đẳng thức 74 4.3 Nguyên tắc cực hạn, lùi vô hạn 86 Trần Nguyễn Thiết Quân (L Lawliet) Phạm Quang Toàn (Phạm Quang Toàn)Trong chương trình THCS và THPT thì phương trình nghiệm nguyênvẫn luôn là một đề tài hay và khó đối với học sinh. Các bài toán nghiệmnguyên thường xuyên xuất hiện tại các kì thi lớn, nhỏ, trong và ngoàinước. Trong bài viết này tôi chỉ muốn đề cập đến các vấn đề cơ bản củanghiệm nguyên (các dạng, các phương pháp giải) chứ không đi nghiêncứu sâu sắc về nó. Tôi cũng không đề cập tới phương trình Pell, phươngtrình Pythagore, phương trình Fermat vì nó có nhiều trong các sách,các chuyên đề khác.4.1 Xét tính chia hết4.1.1 Phát hiện tính chia hết của 1 ẩnVí dụ 4.1. Giải phương trình nghiệm nguyên 13x + 5y = 175 (4.1) 5758 4.1. Xét tính chia hếtLời giải. Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn phương trình (4.1). Ta . .thấy 175 và 5y đều chia hết cho 5 nên 13x..5 ⇒ x..5 (do GCD(13; 5) = 1).Đặt x = 5t (t ∈ Z). Thay vào phương trình (4.1), ta được 13.5t + 5y = 175 ⇔ 13t + y = 35 ⇔ y = 35 − 13tDo đó, phương trình (4.1) có vô số nghiệm nguyên biểu diễn dưới dạng (x; y) = (5t; 35 − 13t), (t ∈ Z)Bài tập đề nghịBài 1. Giải phương trình nghiệm nguyên 12x − 19y = 285Bài 2. Giải phương trình nghiệm nguyên 7x + 13y = 65Bài 3. Giải phương trình nghiệm nguyên 5x + 7y = 1124.1.2 Đưa về phương trình ước sốVí dụ 4.2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 3xy + 6x + y − 52 = 0 (4.2)Lời giải. Nhận xét. Đối với phương trình này, ta không thể áp dụngphương pháp trên là phát hiện tính chia hết, vậy ta phải giải như thếnào?Ta giải như sau: (4.2) ⇔ 3xy + y + 6x + 2 − 54 = 0 ⇔ y (3x + 1) + 2 (3x + 1) − 54 = 0 ⇔ (3x + 1) (y + 2) = 54Như vậy, đến đây ta có x và y nguyên nên 3x + 1 và y + 2 phải là ướccủa 54. Nhưng nếu như vậy thì ta phải xét đến hơn 10 trường hợp sao?Vì: 4 = 1.54 = 2.27 = 3.18 = 6.9 = (−1).(−54) = (−2).(−27) = (−3).(−18) = (−6).(−9)Diễn đàn Toán học Chuyên đề Số học4.1. Xét tính chia hết 59Có cách nào khác không? Câu trả lời là có! Nếu ta để ý một chút đếnthừa số 3x + 1, biểu thức này chia cho 3 luôn dư 1 với mọi x nguyên.Với lập luận trên, ta được:  3x + 1 = 1 x=0 ⇔  y + 2 = 54 y = 52   3x + 1 = −2 x = −1 ⇔ y + 2 = −54 y = −56Ví dụ 4.3. Giải phương trình nghiệm nguyên sau: 2x + 5y + 3xy = 8 (4.3)Lời giải. Ta có (4.3) ⇔ x(2 + 3y) + 5y = 8 ⇔ 3x(2 + 3y) + 15y = 24 ⇔ 3x(2 + 3y) + 5(2 + 3y) = 34 ⇔ (3x + 5)(3y + 3) = 34Đến đây phân tích 34 = 1 · 34 = 2 · 17 rồi xét các trường hợp. Chú ýrằng 3x + 5, 3y + 2 là hai số nguyên chia 3 dư 2, vận dụng điều này tacó thể giảm bớt số trường hợp cần xét. Ví dụ 4.4. Giải phương trình nghiệm nguyên x2 − y 2 = 2011 (4.4)Lời giải. (4.4) ⇔ (x − y)(x + y) = 2011. Vì 2011 là số nguyên tố nênước nguyên của 2011 chỉ có thể là ±1, ±2011. Từ đó suy ra nghiệm(x; y) là (1006; 1005); (1006; −1005); (−1006; −1005); (−1006; 1005). Ví dụ 4.5. Tìm các số nguyên x, y thoả mãn điều kiện x2 + y 2 = (x − y)(xy + 2) + 9 (4.5)Chuyên đề Số học Diễn đàn Toán học60 4.1. Xét tính chia hếtLời giải. Đặt a = x − y, b = xy. Khi đó (4.5) trở thành a2 + 2b = a(b + 2) + 9 ⇔ (a − 2)(a − b) = 9 (4.6)Vì x, y ∈ Z nên a, , a − 2, a − b đều là các số nguyên. Từ (4.6) ta có cáctrường hợp sau: ( ( ( a−2=9 a = 11 x − y = 11 • ⇔ ⇔ (4.7) a−b=1 b = 10 xy = 10 ( ( ( a−2=3 a=5 x−y = ...