Phương trình nghiệm nguyên

Phương trình nghiệm nguyên là một bộ phận quan trọng của số học. Lịch sử giải các phương trình nghiệm nguyên là một cuộc hành trình ly kỳ và đầy hấp dẫn đối với những ai yêu thích toán học.hẳn các bạn đã nghe câu chuyện thú vị của định lý Fermat? một bài toán hết sức đơn giản.......
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương trình nghiệm nguyênPhương trình nghiệm nguyên Phöông trình nghieäm nguyeân 2011 Môû ñaàu… Phöông trình nghieäm nguyeân (phöông trình giaûi ñöôïc treân taäp soá nguyeân) laø moät boä phaän quan troïng cuûa soá hoïc. Lòch söû giaûi caùc phöông trình nghieäm nguyeân laø moät cuoäc haønh trình ly kyø vaø ñaày haáp daãn ñoái vôùi nhöõng ai yeâu thích toaùn hoïc. Haún caùc baïn ñeàu ñaõ nghe qua caâu chuyeän thuù vò veà Ñònh lyù Fermat? Moät baøi toaùn töôûng chöøøng nhö raát ñôn giaûn: xn + yn =zn khoâng coù nghieäm nguyeân döông neáu n≥3! Ñaõ khieán cho caû giôùi toaùn hoïc phaûi ñau ñaàu suoát 3 theá kiû vaø maõi cho ñeán cuoái theá kiû 20 thì lôøøi giaûi troïn veïn cho baøi toaùn môùi ñöôïc tìm ra treân cô sôû tinh hoa cuûa toaùn hoïc hieän ñaïi. Baøi toaùn Fermat ñoù laø moät phaàn trong chuoãi caùc phöông trình nghieäm nguyeân Diophantine – moät nhaø toaùn hoïc Hy Laïp soáng ôû Alexandria vaøo theá kiû III, ngöôøi chuyeân nghieân cöùu veà phöông trình nghieäm nguyeân. Töø thôøi cuûa Diophantine, ngöôøi ta ñaõ töï ñaët ra caâu hoûi: Coù hay khoâng moät thuaät toaùn chung ñeå giaûi taát caû caùc loaïi phöông trình Diophantine? Vaø ñoù chính laø noäi dung cuûa baøi toaùn Hilbert thöù 10 noãi tieáng, ñaõ ñöôïc nhaø toaùn hoïc Hilbert ( nhaø toaùn hoïc lôùn nhaát cuûa moïi thôøi ñaïi) ñeà ra trong soá 23 baøi toaùn cho toaùn hoïc theá kæ 20 taïi Ñaïi hoäi toaùn hoïc quoác teá ñaàu theá kæ 20. Vaø baøi toaùn ñoù ñaõ ñöôïc nhaø toaùn hoïc ngöôøi Nga Yuri Matijasievich giaûi naêm 1970. Caâu traû lôøi cho baøi toaùn thöù 10 laø: ! Tuy vaäy, ñoái vôùi moät soá lôùp phöông trình Diophantine, ta coù theå söû duïng moät soá caùch sau ñeå giaûi chuùng: + Söû duïng caùc tính chaát chia heát ñeå thu heïp taäp hôïp nghieäm coù theå. + Duøng caùc öôùc löôïng veà ñoä lôùn cuûa nghieäm ñeå thu heïp taäp hôïp nghieäm coù theå. Thoâng thöôøng ta hay söû duïng ñeán tính chaát “nghieäm cöïc trò” (nhoû nhaát hay lôùn nhaát theo moät quan heä naøo ñoù). Trong phaïm vi cuûa moät baøi taäp lôùn naøy, toâi seõ giôùi thieäu moät soá phöông trình Diophantine vaø caùch giaûi chuùng. Vaø tröôùc khi baét ñaàu vôùi caùc phöông trình ñoù, ta seõ ñi tìm hieåu ñoâi neùt veà caùch giaûi phöông trình Diophantine ña thöùc treân ℤ cuøng nhöõng khoù khaên trong vieäc giaûi phöông trình Diophantine.1 Traàn Quang – Toaùn 3A – ÑHSP Hueá Phöông trình nghieäm nguyeân 2011 Phương trình DIOPHANTINE một ẩn.I. Chúng ta bắt đầu phần này với phương trình Diophantine một ẩn (hay còn gọi là phương trình đa thức) có dạng: a0 xm  a1 x m1  ...  am1x  am  0 (1) Với m  N * , ai  i  0, m . Nếu tồn tại số nguyên x thỏa mãn phương trình (1) thì khi đó: (a0 xm1  a1 x m2  ...  am1 ) x  am Vậy x là một ước của am. Nếu am  0 thì ta dễ dàng tìm được x bằng cách liệt kê các ước ( hữu hạn) nguyên âm và nguyên dương của am rồi lần lượt thử vào phương trình (1) để tìm ra giá trị phù hợp. Nếu am  0 thì rõ ràng x  0 là một nghiệm của phương tình (1), lúc đó ta xét phương trình: a0 xm1  a1 x m2  ...  am1  0 Đối với phương trình này ta lại tiếp tục cách giải trên bằng cách phân loại am-1=0 hay khác 0. Nếu am-1=0 thì ta lại tiếp tục xét tiếp một phương trình bậc m-2 và lặp lại quá trình giải trên. Vì bậc m đã cho trước là cố định nên quá trình này là hữu hạn, do vậy ta sẽ tìm được tất cả các nghiệm nguyên của phương trình (1). Ta xét ví dụ sau: Bài toán : Giải phương trình sau trên tập : x7  x  2  0 (*) Giải Nếu là một nghiệm nguyên của (*) thì x 2 . Vậy các giá trị mà có thể nhận là 2, 1,1, 2 . Lần lượt thay vào phương trình (*) ta thấy chỉ có =-1 là thỏa mãn phương trình (*). . Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên duy nhất là Phương pháp nêu trên nói chung là không khó (chỉ gồm các tính toán sơ cấp) để tìm nghiệm nguyên của một phương trình đa thức có hệ số nguyên, ngay cả khi đa thức đó có bậc rất cao. Trường hợp này khác biệt hẳn so với các lý thuyết và định lý của Đại số vì như chúng ta đã biết , công thức nghiệm của phương trình bậc ba và bậc bốn rất phức tạp và các phương trình bậc cao hơn thì không có một công thức nghiêm chung nào để giải chúng.2 Traàn Quang – Toaùn 3A – ÑHSP Hueá Phöông trình nghieäm nguyeân 2011 Một vấn đề đặt ra ở đây nữa là : Làm thế nào tìm tất cả các nghiệm hữu tỉ của k phương trình (1)? Chúng ta giải quyết vấn đề đó như sau : Giả sử r  (với s là ...