Ứng dụng số nguyên Gauss trong phương trình nghiệm nguyên

Bài viết Ứng dụng số nguyên Gauss trong phương trình nghiệm nguy trình bày một phương pháp mới để giải một số dạng phương trình nghiệm nguyên, đó là phương pháp sử dụng lý thuyết về số nguyên Gauss.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ứng dụng số nguyên Gauss trong phương trình nghiệm nguyên TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG - SỐ 5(78).2014 155 ỨNG DỤNG SỐ NGUYÊN GAUSS TRONG PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN USING GAUSSIAN INTEGERS IN INTEGER SOLUTION EQUATIONS Nguyễn Thị Sinh Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng; Email: sinhsp@gmail.com Tóm tắt: Phương trình nghiệm nguyên là một lĩnh vực rất lý thú Abstract: Integer solution equations is a very interesting and difficult và rất khó của Toán học, nó được đưa vào hầu hết các chương field of mathematics. It is presented in high school with many exciting trình phổ thông với nhiều cách giải hay, độc đáo và phát huy and unique solutions and promoting creative abilities of learners. By được khả năng sáng tạo của người học. Thông qua việc giải solving integer solution equations, the learners not only train skills to phương trình nghiệm nguyên, ngoài việc rèn luyện kỹ năng giải solve equations, but also improve in terms of logical thinking, argue phương trình, người học còn được nâng cao về mặt tư duy logic, the issues closely and practice abilities creativity. It can be said that lập luận các vấn đề chặt chẽ và rèn luyện khả năng sáng tạo. Có the method of solving integer solution equations is very varied and it thể nói phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên rất đa is synthesized by many methods of solving equations of all dạng và là tổng hợp các phương pháp giải phương trình của các educational levels, such as the method of using arithmetic’s cấp học như phương pháp sử dụng các tính chất số học, phương properties, the method of analysing, the method of excluding, the pháp phân tích, phương pháp loại trừ, phương pháp tham số method of parametriczation, the method of using the range of hóa, phương pháp miền giá trị, phương pháp lựa chọn modulo, variables, the method of choosing modulo, … This article presents a … Bài báo này trình bày một phương pháp mới để giải một số new method in solving several types of integer solution equations. dạng phương trình nghiệm nguyên, đó là phương pháp sử dụng This is a method that uses the theory of Gaussian integers to solve lý thuyết về số nguyên Gauss. integer solution equations. Từ khóa: Phương trình nghiệm nguyên; vành Gauss; số nguyên Key words: Integer solution equations; the ring of Gaussian integers; Gauss; số nguyên tố Gauss; ứng dụng số nguyên Gauss Gaussian integers; Gaussian primes; application of Gaussian integers 1. Đặt vấn đề khi đó tồn tại các số nguyên Gauss  , sao cho Số nguyên Gauss xuất hiện trong nhiều lĩnh vực của toán học. Một trong những ứng dụng của số nguyên  =  +  , 0  N ( )  N ( ). Gauss là góp phần giải một số lớp phương trình nghiệm Định nghĩa 3. Cho  ,  là hai số nguyên Gauss khác không. nguyên. Trước tiên, bài báo trình bày Vành các số nguyên Gauss và những khái niệm liên quan (xem [3]). i)  ,  được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu tất cả các Định nghĩa 1. (Số nguyên Gauss) ước chung của  ,  chỉ thuộc {1 , i} . Số phức có dạng a + ib , trong đó a, b  Z được gọi là ii) Ta nói rằng   Z [i] là ước chung lớn nhất (UCLN) các số nguyên Gauss. của  ,  và viết ( ,  ) =  nếu  là ước chung của  Tập tất cả các số nguyên Gauss được ký hiệu là Z[i] . Rõ ràng Z  Z [i] . và  , đồng thời chuẩn N ( ) có giá trị lớn nhất trong tập hợp chuẩn của tất cả các ước chung của  và  . Dễ dàng kiểm tra được Z[i] là một vành và được gọi là vành các số nguyên Gauss. Định lý 3. Giả sử ( ,  ) =  . Khi đó Định nghĩa 2. Cho  ,   Z[i] , trong đó   0 , ta nói i) Tồn tại  ,   Z [i] sao cho  +  =  .  chia hết  hay  chia hết cho  nếu tồn tại   Z [i] ii) Nếu  là một ước chung bất kỳ của  và  thì  | . sao cho  =  . Nếu  chia hết  ta nói  là một ước Hệ quả 1. Giả sử  |  và  ,  nguyên tố cùng của  và viết  |  hay  là bội của  và viết   . nhau. Khi đó  |  . Một số nguyên Gauss  được gọi là đơn vị nếu  là ước của mọi số nguyên Gauss. Định nghĩa 4. (Số nguyên tố Gauss) Chuẩn của một số nguyên Gauss  = a + ib , ký hiệu Một số nguyên Gauss khác đơn vị  được gọi là số là N ( ) , được xác định bởi nguyên tố Gauss nếu  không thể biểu diễn dưới dạng tích của hai số nguyên Gauss khác đơn vị. N ( ) =|  |2 =  = a 2 + b 2 Nếu  không phải là số nguyên tố Gauss thì ta nói  Chuẩn N ( ) là một số tự nhiên. N ( ) = 0 khi và chỉ là một hợp số Gauss. khi  = 0 . Nếu  =  thì N ( ) = N ( ) N (  ) . Định nghĩa 5. Số nguyên Gauss  được gọi là số kết Mệnh đề 1. Số nguyên Gauss  là đơn vị khi và chỉ khi hợp với số nguyên Gauss  nếu  =  , trong đó  là một đơn vị. N ( ) = 1 . Tập U tất cả các đơn ...