Một số bài toán về phương trình nghiệm nguyên - Nguyễn Minh Đức

Tài liệu Một số bài toán về phương trình nghiệm nguyên tập hợp những bài tập và hướng dẫn giải của những bài tập về phương trình nghiệm nguyên. Tài liệu được biên soạn nhằm giúp các bạn làm quen với dạng toán về phương trình nghiệm nguyên, từ đó củng cố kiến thức về Toán học.

Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số bài toán về phương trình nghiệm nguyên - Nguyễn Minh Đức Nguyễn Minh Đức 16/02/1998 THPT Lê Quảng Chí ( Hà Tĩnh ) “ Một Số Bài Toán Về Phương Trình Nghiệm Nguyên” ****(‘-‘)**** _____Sau đây,mình xin tổng hợp một số bài toán về mảng kiến thức : “Phương Trình Nghiệm Nguyên”. Ngẫu hứng ngày 23/08/2014!!Bài 1: Tìm nguyện nguyên của phương trình: x  xy  y  9 . (1) G:Ta có: (1)  ( x  1)( y  1)  10Vậy có các khả năng sau đây:  x  1  1    x; y   (0;9)   y  1  10   x  1  10    x; y   (9;0)  y  1  1    x  1  1  ( x; y )  (2; 11)   y  1  10    x  1  10   y  1  1  ( x; y )  (11; 2)   x  1  2   ( x; y )  (1; 4)  y  1  5    x  1  5  ( x; y )  (4;1)  y  1  2    x  1  2   y  1  5  ( x; y )  (3; 6)    x  1  5   ( x; y )  (6; 3)   y  1  2Vậy phương trình (1) có tám nghiệm nguyên : ( x; y)  (0;9),(9;0),(2; 11),(11; 2),(1;4),(4;1),(3; 6),(6; 3).Bài 2: Tìm các số nguyên không âm x, y thỏa mãn đảng thức: x 2  y 2  y  1 . G:Giả sử ( x, y) không âm là nghiệm của phương trình x 2  y 2  y  1 .Khi đó ta có: x 2  y 2 . (1)Mặt khác,do y  0 nên: y  1  4 y 2  4 y  1  (2 y  1)2Suy ra: y  1  2 y  1  y 2  y  1  ( y  1)2  x 2  ( y  1)2 ( Do y 2 và y 2  1 là hai số chínhphương liên tiếp):  y 2  y  1  ( y  1)2  y  0  x  1 .Vậy phương trình đã cho có đúng một nghiệm nguyên không âm là x  1, y  0 . Nguyễn Minh Đức 16/02/1998 THPT Lê Quảng Chí ( Hà Tĩnh )Bài 3:Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: 2 y 2 x  x  y  1  x2  2 y 2  xy (1) G:Ta có: (1)  2 y 2 ( x  1)  x( x  1)  y( x  1)  1  (2 y 2  y  x)( x  1)  1 (2)Vì x, y là các số nguyên nên ta có: x 2 x 1 1 x 2 y 1 2 2 ( x; y ) (2;1). 2y y x 1 2y y 1 0 y 1  2 (2) x 0 x 1 1 x 0 y 1 2 2 ( x; y ) (0;1). 2y y x 1 2y y 1 0 y ...