Một số dạng toán về đẳng thức và bất đẳng thức trong lớp hàm số học

Nội dung báo viết "Một số dạng toán về đẳng thức và bất đẳng thức trong lớp hàm số học" nhằm trình bày một số định lý, tính chất của hàm số học và áp dụng vào bài toán khảo sát các đẳng thức và bất đẳng thức số học liên quan. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết mội dung bài viết!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số dạng toán về đẳng thức và bất đẳng thức trong lớp hàm số học Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG LỚP HÀM SỐ HỌC Lê Văn Cao Học viên cao học ĐH Hồng Đức, Thanh Hóa Tóm tắt nội dung Nội dung báo cáo nhằm trình bày một số định lý, tính chất của hàm số học và áp dụngvào bài toán khảo sát các đẳng thức và bất đẳng thức số học liên quan.1 Định nghĩa và tính chất của hàm số học Trong lý thuyết số, các hàm số học có vai trò hết sức quan trọng. Trong chương này,ta xét một số tính chất của các hàm số học cơ bản. Ta chủ yếu khảo sát lớp hàm số họcnhận giá trị thực. Những trường hợp đặc biệt sẽ được xét riêng và có chú giải chi tiết.Định nghĩa 1.1 (xem [1],[4]). Hàm số học là hàm số có miền xác định là tập các số nguyêndương và miền giá trị là tập các số thực hoặc phức.Định nghĩa 1.2 (Hàm nhân tính). Một hàm số học f được gọi là hàm nhân tính nếu vớimỗi cặp số m, n nguyên tố cùng nhau, ta có f (nm) = f (n) f (m). Trong trường hợp đẳng thức đúng với mọi m, n nguyên dương (không nhất thiếtnguyên tố cùng nhau) hàm f gọi là hàm nhân tính mạnh.Định lý 1.1 (Tính chất của hàm nhân tính). Nếu f là hàm nhân tính thì f ([m, n]) f ((m, n)) = f (m) f (n)với mọi số nguyên dương m và n.Tính chất 1.1. Nếu f là một hàm nhân tính thì hàm F (n) = ∑ f (d) cũng là hàm nhân d|ntính.Tính chất 1.2. Cho n là một số nguyên dương. Khi đó ∑ ϕ(d) = n. d|n Tiếp theo, ta xét một số hàm số học cơ bản.Định nghĩa 1.3 (Phi hàm Euler ϕ(n)). Cho số tự nhiên n ≥ 1. Ta ký hiệu ϕ(n) là số cácsố tự nhiên bé hơn n và nguyên tố cùng nhau với n. Quy ước ϕ(1) = 1. 1 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019Định lý 1.2 (xem [4]). Hàm ϕ(n) là hàm nhân tính. Từ định lý này ta suy ra công thức tính ϕ(n) như sau.Định lý 1.3 (xem [20, 30 - 33]). Giả sử n = p1α1 . . . pαk k là phân tích chính tắc của n > 1.Khi đó 1 1 1 ϕ(n) = n 1 − 1− ... 1− . p1 p2 pkBài toán 1.1. Tính ϕ(360).Lời giải. Với n = 360 = 23 .32 .5 thì 1 1 1 ϕ(360) = 360 1 − 1− 1− = 96. 2 3 5Nhận xét 1.1. Tầm quan trọng của hàm ϕ(n) trong số học được thể hiện trong Định lýEuler. Sau đây là một dạng mở rộng của Định lý Euler.Định lý 1.4 (Định lý Euler mở rộng). Cho a và m là hai số tự nhiên. Khi đó am ≡ am− ϕ(m) (mod m).Định lý 1.5 (Định lý Fermat). Cho p là một số nguyên tố và a là một số nguyên khôngchia hết cho p. Khi đó, ta có a p−1 ≡ 1 (mod p).Định lý 1.6 (Định lý Fermat dạng khác). Cho p là một số nguyên tố và a là một số nguyêntùy ý khi ấy ta có a p ≡ a (mod p).Bài toán 1.2. Tìm các số nguyên x để 9x + 5 là tích của hai số nguyên liên tiếp.Lời giải. Giả sử 9x + 5 = n(n + 1) với n ∈ Z, suy ra 36x + 20 = 4n2 + 4n.Suy ra 36x + 21 = (2n + 1)2 hay 3(12x + 7) = (2n + 1)2 . Số chính phương (2n + 1)2 chia hết cho 3 nên nó cũng chia hết cho 9. Mặt khác (12x +7) không chia hết cho 3 nên 3(12x + 7) không chia hết cho 9. Mâu thuẫn trên chứng tỏ không tồn tại số nguyên x nào để 9x + 5 = n(n + 1). Tiếp theo, ta xét hàm tổng các ước của một số tự nhiên.Định nghĩa 1.4 (xem [4]). Cho số nguyên dương n. Ta ký hiệu σ(n) là tổng các ướcnguyên dương của n. σ (1) = 1 σ(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12 σ (2) = 1 + 2 = 3 σ (7) = 1 + 7 = 8 σ (3) = 1 + 3 = 4 σ (8) = 1 + 2 + 4 + 8 = 15 σ (4) = 1 + 2 + 4 = 7 σ(9) = 1 + 3 + 9 = 13 σ (5) = 1 + 5 = 6 σ(10) = 1 + 2 + 5 + 10 = 18. Nếu n ≥ 2 thì σ(n) ≥ n + 1. Ta có thể sử dụng phép phân tích thành nhân tử của nđể tính σ(n). 2 Hội thảo Khoa học, Sầm Sơn 28-28/09/2019Bài toán 1.3. Tính σ (180).Lời giải. Ta có 180 = 22 32 5. Mọi ước d của 180 có dạng d = 2a 3b 5c , với 0 ≤ a ≤ 2,0 ≤ b ≤ 2 và o ≤ c ≤ 1. Ta có σ(180) = ∑ d d|180 = 1 + 2 + 4 + 5 + 6 + 9 ...