Một số phản ví dụ về các lớp không gian tôpô quan trọng

Một trong những mục đích quan trọng khi phân loại các không gian tôpô trong toán học đó là nhằm metric hóa các không gian tôpô. Khi đó dựa vào các tính chất gần gũi của không gian metric, người ta phân loại các không gian tôpô thành nhiều lớp không gian khác nhau theo thứ tự giảm dần theo quan hệ bao hàm bởi các điều kiện ngày càng gần gũi với không gian metric
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số phản ví dụ về các lớp không gian tôpô quan trọngTẠP CHÍ KHOA HỌCKhoa học Tự nhiên và Công nghệ, Số 8(3/2017) tr. 17 - 22MỘT SỐ PHẢN VÍ DỤVỀ CÁC LỚP KHÔNG GIAN TÔPÔ QUAN TRỌNGĐoàn Thị Chuyên3Trường Đại học Tây BắcTóm tắt: Một trong những mục đích quan trọng khi phân loại các không gian tôpô trong toán học đó lànhằm metric hóa các không gian tôpô. Khi đó dựa vào các tính chất gần gũi của không gian metric, người taphân loại các không gian tôpô thành nhiều lớp không gian khác nhau theo thứ tự giảm dần theo quan hệ baohàm bởi các điều kiện ngày càng gần gũi với không gian metric. Trong bài báo này, chúng tôi sẽ xây dựng mộtsố phản ví dụ đơn giản về các tôpô trên một số tập con đơn giản của , nhằm chỉ ra bao hàm thức thực sự chocác lớp không gian tôpô quan trọng đã biết.Từ khóa: Không gian metric, Không gian tôpô, Metric hóa tôpô, Không gian Frechet, Không gianHausdorff, Không gian chính quy.1. Một số khái niệm cần thiếtChúng tôi nhắc lại một số khái niệm cần thiết trong không gian tôpô dùng trong bài báo này.Định nghĩa 1. Cho một tập hợp X  . Một họ  các tập hợp con nào đó của X đượcgọi là một tôpô trên X nếu họ  thỏa mãn các điều kiện sau:i)  , X  ;ii) Nếu G1 , G2  thì G1  G2  ;iii) Nếu Gi iI  thìGi  .iINếu trên tập hợp X có một tôpô  thì ta gọi X là một không gian tôpô, kí hiệu bởicặp  X ,  .Định nghĩa 2. Không gian tôpô X được gọi là T0 - không gian nếu với mỗi cặp điểm x, ykhác nhau của không gian luôn tồn tại lân cận của một trong hai điểm không chứa điểm kia.Ví dụ 1. Dễ dàng kiểm tra tập X  0,1 cùng với họ    X , 0 ,  là một không giantôpô và là T0  không gian.Định nghĩa 3. (Không gian Frechet) Không gian tôpô X được gọi là T1  không giannếu với mỗi cặp điểm x, y khác nhau của không gian X luôn tồn tại một lân cận của x khôngchứa y và một lân cận của y không chứa x.Ví dụ 2. Xét trên tập hợp X  [0;1] ta xét họ    X , , G ở đó G thu từ X bằng cáchbỏ đi một số hữu hạn điểm hoặc một dãy số bất kì nằm trong X. Khi đó có thể thấy X là T1 không gian.3Ngày nhận bài: 18/8/2016. Ngày nhận đăng: 25/9/2016Liên lạc: Đoàn Thị Chuyên, e - mail: doanchuyenkt@gmail.com17Định nghĩa 4. (Không gian tách Hausdorff ) Không gian tôpô X được gọi là T2  khônggian nếu với mỗi cặp điểm bất kì khác nhau của không gian luôn có các lân cận rời nhau.Ví dụ 3. Xét trên tập hợp X  [0;1] khoảng cách (rời rạc)1 khi x  y0 khi x  y ( x, y)  Khi đó X cùng với tôpô  cảm sinh bởi khoảng cách  nói trên là một T2  không gian.11Thật vậy, với mọi x  y trong X ta chọn hai lân cận U x  B( x, ) của x và U y  B( y, ) của22y thì hai lân cận này thỏa mãn Định nghĩa 4.Định nghĩa 5. (Không gian tôpô chính quy) Không gian tôpô X được gọi là không gianchính quy nếu X là T1  không gian và thỏa mãn với mỗi điểm x  X và mỗi tập đóng Fkhông chứa x luôn tồn tại lân cận U của x và lân cận V của F sao cho: U V  . Trongtrường hợp này ta cũng gọi X là T3  không gian.Định nghĩa 6. (Không gian chuẩn tắc) Không gian tôpô X được gọi là không gianchuẩn tắc nếu X là T1  không gian và thỏa mãn với hai tập đóng rời nhau F1 , F2 bất kì luôntồn tại lân cận U của F1 và lân cận V của F2 sao cho: U V  . Trong trường hợp này tacũng gọi X là T4  không gian.Nhận xét: Từ các định nghĩa và ví dụ minh họa ta đi đến nhận xét sau:Nếu X là T4  không gian  T3  không gian  X là T2  không gian  X là T1 không gian  X là T0  không gian. Mặt khác nếu lấy X thì với tôpô tự nhiên X đềuthỏa mãn các không gian nói trên. Tuy nhiên điều ngược lại, nhìn chung không đúng. Mụctiêu chính của bài báo này là đưa ra các ví dụ đơn giản để thấy rằng điều ngược lại khôngđúng. Mặt khác rõ ràng từ định nghĩa, mọi tôpô cảm sinh bởi metric trên X là T4  không gian.2. Một số phản ví dụ cho một số không gian tôpô quan trọng2.1. Ví dụ về T0  không gian, không là T1  không gianTa xét X  [0;1], đặt:   {G  X : G   hoặc 0  G}.Ta sẽ chứng tỏ rằng:a.  X ,  là không gian tôpô.b. Không gian tôpô  X ,  là T0  không gian, không là T1  không gian.Thật vậy, từ định nghĩa dễ ràng có thể kiểm tra  X ,  là không gian tôpô. Ta chứngminh khẳng định sau. Lấy bất kì hai điểm phân biệt y1 , y2 thuộc X. Nếu y1 , y2 khác 0, tập0, y1là tập mở không chứa y2 . Nếu y1  0  0 không chứa y2 . Suy ra  X ,  là T0 không gian.18Lấy y khác 0, theo định nghĩa của  , mọi lân cận của y đều chứa 0 nên  X ,  không làT1  không gian.2.2. Ví dụ về T1  không gian, không là T2  không gianCho X  [0;1] và đặt:   {G  X : G   hoặc G  X hoặc X \ G hữu hạn }.Ta chứng tỏ rằng:a.  X ,  là một không gian tôpô (còn được gọi là tôpô Zariski).b.  X ,  là T1  không gian mà không phải là T2  không gian.Thật vậy, từ định nghĩa dễ ràng có thể kiểm tra  X ,  là không gian tôpô. Ta chứngminh khẳng định b).Với mọi x, y  X , x  y. Đặt U x  X \  y ,Vy  X \ x. Suy ra U x ,Vy  và U x là lâncận của x không chứa y, Vy là lân cận của y không chứa x. Do đó  X ,  là T1  không gian.Ta chỉ ra  X ,  không là T2  không gian bằng phản chứng. Thật vậy, giả sử  X ,  làT2  không gian, khi đó tồn tại lân cận U x ,Vy  sao cho x U x , y Vy và U x Vy  .Mặt khác ta có  X \ U x  ,  X \ Vy  có hữu hạn phần tử vàX  X \   X \ U x Vy    X \ U x    X \ Vy  .Suy ra X có hữu hạn phần tử mâu thuẫn với X  [0;1] là tập vô hạn. Vậy  X ,  khôngphải là T2  không gian.2.3. Ví dụ về T2  không gian, không là T3  không gianCho X  (1;1) là tập số thực, kí hiệu:Mỗi x  Xđặt nx *1{  X | nn*}.11sao cho U i ( x)   x  , x    (1;1). Ta kí hiệunxnx B( x)  U n ( x)nn .xTa chứng tỏ các khẳng định sau:1. B  x xX là hệ lân cận xác định tôpô  trên X.2.  X ,  là T2  không gian.3.  X ,  không là T3  không gian.Thật vậy, khẳng định thứ nhất B  x xX là hệ lân cận xác định tôpô  trên X.19i. ...