Một số phương pháp giải các bài toán liên quan đến đường phân giác trong tam giác

Tài liệu Một số phương pháp giải các bài toán liên quan đến đường phân giác trong tam giác được biên soạn với các nội dung: Các kiến thức cần nhớ, các bài toán ví dụ, bài tập áp dung. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số phương pháp giải các bài toán liên quan đến đường phân giác trong tam giác MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG TAM GIÁC (Lê Phúc Lữ, SV Đại học FPT TP HCM) *************** I. Các kiến thức cần nhớ. 1.Tính chất đường phân giác. Cho tam giác ABC có phân giác trong AD, phân giác ngoài AE. Khi đó DB EB AB   DC EC AC 2.Định lí Menelaus. Cho các điểm M, N, P lần lượt nằm trên các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC (cả ba hoặc có đúng một điểm nằm ngoài các đoạn thẳng này). Khi đó, M, N, P thẳng hàng khi và chỉ khi MB NC PA . .  1. MC NA PB 3.Định lí Ceva. Cho các điểm M, N, P lần lượt nằm trên các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC (cả ba hoặc có đúng một điểm thuộc các đoạn thẳng này). Khi đó, M, N, P đồng quy khi và chỉ khi MB NC PA . .  1. MC NA PB 4.Các công thức tính quen thuộc. Cho tam giác ABC có AB  c, BC  a, CA  b , p là nửa chu vi. Gọi H, D lần lượt là chân đường cao, chân đường phân giác trong góc A. Ta tính được ac ab a 2  c 2  b2 a 2  b2  c2 2 , DC  và BH  , CH  , AD  bcp( p  a) . bc bc 2a 2a bc 5.Vectơ đơn vị. DB  Vectơ có độ dài bằng 1 là vectơ đơn vị. Ta biết rằng tổng của hai vectơ là một vectơ và xác định theo quy tắc hình bình hành, nếu hai vectơ này có độ dài bằng nhau thì hình biểu diễn tổng của chúng là hình thoi; vectơ tổng cũng chính là tia phân giác của góc tạo bởi hai vectơ ban đầu. Như thế trong hình học giải tích, khi cẩn viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng ta có thể chọn trong các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng ra vectơ đơn vị rồi tính tổng của hai vectơ này; khi đó, ta thu được vectơ chỉ phương của đường phân giác cần tìm. 6.Công thức vectơ về tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp.       Trong tam giác ABC, ta luôn có: aIA  bIB  cIC  0 với I là tâm đường tròn nội tiếp và a, b, c là độ dài các cạnh ứng với góc A, B, C. Ta hãy cùng tìm hiểu cụ thể các phương pháp này để thấy rõ hiệu quả của chúng. 1 II. Các bài toán ví dụ. Một số ví dụ dưới đây được giải bằng hai cách để có thể dễ đối chiếu được tính tự nhiên và tính hiệu quả riêng của mỗi cách tiếp cận vấn đề. Bài 1. Cho tam giác ABC có hai phân giác BD và CE cắt nhau tại I. Biết rằng ID  IE .  Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A hoặc BAC  600 . Lời giải 1. Ta xét hai trường hợp sau A -Nếu AD  AE thì AID  AIE (c.c.c )    AEI . ADI  F E Suy ra ADB  AEC ( g .c.g )  AB  AC nên tam giác ABC cân tại A. D I C B -Nếu AD  AE , không mất tính tổng quát, ta giả sử AD  AE . Trên đoạn AE, lấy điểm F sao cho AD  AF ; khi đó, ADI  AFI (c.g.c )  IF  ID  IE .   Tam giác IEF cân tại I nên IFE  IEF    BEI    BEI . AFI  ADI  Từ đây suy ra tứ giác ADIE nội tiếp và  BAC     BAC  DIE  1800  BAC  90   1800  BAC  600 . 2  Do đó BAC  600 . Từ hai trường hợp này, ta có đpcm. Lời giải 2. Theo công thức tính độ dài đường phân giác, ta có BD  2 cap ( p  b) . ca AD c bc   AD  . Hơn nữa, AI là phân giác góc A trong CD a ac ID AD b ID b b      tam giác ABD nên . IB AB a  c BD a  b  c 2 p Vì BD là phân giác góc B nên Do đó ID  b cap ( p  b) b ab 2c ( p  b) BD   ID 2  . 2p p (c  a ) p(c  a) 2 2 abc 2 ( p  c) Tương tự IE  . p( a  b) 2 2 Từ giả thiết đã cho, ta có ab 2 c( p  b) abc 2 ( p  c ) b ( a  c  b) c ( a  b  c )     b ( a  b) 2 ( a  c  b )  c ( c  a ) 2 ( a  b  c ) 2 2 2 2 p (c  a ) p (a  b) (c  a ) (a  b) b  c  (b  c)(a  b  c)(a 2  b 2  c 2  bc )  0   2 2 2  a  b  c  bc -Nếu b  c thì tam giác ABC cân tại A. b2  c2  a 2 1  -Nếu a  b  c  bc  cos A    BAC  600 . 2bc 2 2 2 2 Vậy kết hợp hai trường hợp này lại, ta có đpcm. Bài 2. Gọi K là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC. Gọi B1 , C1 theo thứ tự là trung điểm các cạnh AC, AB. Đường thẳng C1 K cắt đường thẳng AC tại B2 , đường thẳng B1 K cắt  AB tại C2 sao cho diện tích tam giác ABC và tam giác AB2C2 bằng nhau. Tính góc BAC . Lời giải. Không mất tính tổng quát, giả sử AB  AC . Đặt AB2  x, AC2  y, x, y  0 . Ta tính bc và D nằm giữa A và B1 . Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABD với cát ac bc x B2 D C1 A KB a  c . a  c  1  x  bc . tuyến B2 KC1 , ta có . . 1 B2 A C1 B KD x b a  c b được: AD  A Tương tự, ta tính được: y  bc . abc Theo giả thiết thì S ABC  S AB C nên xy  bc . 2 2 C1 C2 Thay trực tiếp các biểu thức đã tính được vào đẳng thức này, ta có: B1 bc bc .  bc a  c b a bc  bc  (a  c  b)(a  b  c)  a 2  b 2  c 2  bc Do đó: K C B B2  cos BAC  b2  c 2  a2 1    BAC  600 . 2bc 2 3 Bài 3. Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp và M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng I nằm trong tam giác MNP và S IMN S INP S IPM   a b c b  c  a c  a b Lời giải. Trước hết, ta chứng minh nhận xét      Nếu điểm M và tam giác ABC nằm trong mặt phẳng thỏa xMA  yMB  z ...