Mức năng lương cơ bản của nguyên tử hiđrô theo phương pháp toán tử

Phương pháp toán tử được các nhà lý thuyết nghiên cứu gần đây gặp phải một khó khăn là chưa chọn được một không gian vectơ trực giao thích hợp cũng như còn hạn chế khi mở rộng cho bài toán phức tạp hơn. Phương pháp toán tử trình bày trong nội dung đề tài này dựa trên một hệ cơ sở trực giao trong không gian Hilbert của dao động tử điều hòa, qua đó chúng ta có thể biểu diễn Hamiltonian của bài toán nguyên tử hiđrô thông qua các toán tử sinh hủy một cách dễ dàng.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Mức năng lương cơ bản của nguyên tử hiđrô theo phương pháp toán tử Năm học 2008 – 2009 MỨC NĂNG LƯƠNG CƠ BẢN CỦA NGUYÊN TỬ HIĐRÔ THEO PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ Bùi Nguyễn Ngọc Thúy SV năm 4, Khoa Vật lý GVHD: TS. Nguyễn Văn Hoa1. Đặt vấn đề Trong cơ học lượng tử bài toán nguyên tử hiđrô là một bài toán đã được giảichính xác. Trong nội dung đề tài này, chúng ta sẽ nghiên cứu một phương phápmới để tiếp cận với bài toán nguyên tử hiđrô, đó là phương pháp toán tử. Phương pháp toán tử được các nhà lý thuyết nghiên cứu gần đây gặp phảimột khó khăn là chưa chọn được một không gian vectơ trực giao thích hợp cũngnhư còn hạn chế khi mở rộng cho bài toán phức tạp hơn. Phương pháp toán tửtrình bày trong nội dung đề tài này dựa trên một hệ cơ sở trực giao   n  trongkhông gian Hilbert của dao động tử điều hòa, qua đó chúng ta có thể biểu diễnHamiltonian của bài toán nguyên tử hiđrô thông qua các toán tử sinh hủy mộtcách dễ dàng. Ta đưa Hamiltonian nguyên tử hiđrô về dạng dao động tử gồm các thànhphần điều hòa và phi điều hòa ba chiều đẳng hướng x, y, z nghĩa là táchHamiltonian của bài toán thành hai phần: thành phần µ H 0 chỉ chứa các số hạngtrung hòa xem như ứng với trường hợp dao động tử điều hòa không nhiễu loạn,và thành phần Vµxem như là thế nhiễu loạn. Từ đây ta áp dụng lý thuyết nhiễuloạn để giải bài toán vì hiện nay phương pháp nhiễu loạn vẫn là phương pháp ưuviệt nhất để giải gần đúng các bài toán trong cơ học lượng tử. Với cách giải mớinày chúng ta có thể tìm được các mức năng lượng của nguyên tử hiđrô.2. Nội dung thực hiện Một số kết quả về năng lượng và hàm sóng của nguyên tử hiđrô mà cơ họclượng tử cho ta. Tìm hiểu tổng quan hình thức luận của toán tử lấp đầy (hay phương pháptoán tử). Áp dụng phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hiđrô, từ đó xác địnhđược mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hiđrô.3. Phương pháp nghiên cứu 207Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH Từ kết quả của cơ học lượng tử ta có công thức tính năng lượng của nguyêntử hiđrô me 4 Z 2 En   E   2 h2 n 2 Ta có mức năng lượng cơ bản của nguyên tử hiđrô E1  13, 6eV 3.1. Hình thức luận toán tử số lấp đầy Ta đặt hai toán tử mới là  1  m 1   aˆ   xˆ  i pˆ   2 h m h     1  m 1   aˆ   xˆ  i pˆ   2  h m h  Thỏa mãn điều kiện giao hoán tử aˆ , aˆ    aa ˆ ˆ   aˆ  aˆ  1 . Đặt Nˆ  aˆ  aˆ Ta gọi mỗi lượng tử kích thích các dao động của dao động tử được gọi làmột phonon. Khi đó thay cho hàm  n ( x) , người ta có thể đặc trưng cho hàm nàybằng một hàm theo biến độc lập n chính là số phonon ở trạng thái dừng đã cho.Ký hiệu hàm đó bằng n . aˆ + n  n  1 n  1 Ta có aˆ n  n n  1 Nˆ n  n n Phép biểu diễn như thế cho các hàm và các toán tử được gọi là phép biểudiễn các số lấp đầy. Toán tử aˆ  tác dụng lên hàm n làm tăng số phonon thêmmột đơn vị nên được gọi là toán tử sinh phonon; toán tử aˆ tác dụng lên hàm nlàm giảm số phonon một đơn vị nên được gọi là toán tử hủy phonon. Toán tử Nˆgọi là toán tử số hạt phonon. 3.2. Phương pháp toán tử cho bài toán nguyên tử hiđrô Xét bài toán nguyên tử hiđro, phương trình Schrodinger theo hệ đơn vịnguyên tử (  = m = e =1) được viết Hˆ   x , y , z   E   x , y , z 208 Năm học 2008 – 2009 Với Hˆ  Tˆ  Uˆ ,trong đó  1  2 2 2  Tˆ    2  2  2   2  x  y z   Uˆ   Z  x2  y2  z2  Ta định nghĩa các toán tử sinh hủy như sau   1     1   aˆ  ...