Những định lý hình học nổi tiếng

Tài liệu "Những định lý hình học nổi tiếng" trình bày những định lý hình học nổi tiếng như: đường thẳng Euler, đường thẳng Simmon, đường tròn Miquel, định lý Miquel,... Thông qua tài liệu này, hi vọng các em sẽ nắm vững được nội dung bài học và nâng cao khả năng toán học của mình nhé.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Những định lý hình học nổi tiếng NHỮNG ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC NỔI TIẾNG1. Đường thẳng Euler1.(Đường thẳng Euler). Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng trọng tâm G , trựctâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O cùng nằm trên một đường thẳng. Hơn nữaGH 2 . Đường thẳng nối H ,G,O gọi là đường thẳng Euler của tam giác ABC .GOChứng minh: A A H G H O O E G B C M B C H DCách 1: Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC , AC . Ta có EF là đườngtrung bình của tam giác ABC nên EF / /AB . Ta lại có OF / /BH (cùngvuông góc với AC ). Do đó OFE ABH (góc có cạnh tương ứng songsong). Chứng minh tương tự OEF BAH . AH ABTừ đó có ABH EFO (g.g) 2 (do EF là đường OE EFtrung bình của tam giác ABC ). Mặt khác G là trọng tâm của tam giác AG AG AHABC nên 2 . Do đó 2 , lại có HAG OEG (so le GE FG OEtrong, OE / /AH ) HAG EOG (c.g.c) HGA EGO . DoEGO AGO 1800 nên HGA AGO 1800 hay HGO 1800 .THCS.TOANMATH.comVậy H ,G,O thẳng hàng.Cách 2: Kẻ đường kính AD của đường tròn (O ) ta có BH AC (Tínhchất trực tâm) AC CD (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy raBH / /CD . Tương tự ta cũng có CH / /BD nên tứ giác BHCD là hìnhbình hành, do đó HD cắt BC tại trung điểm của mỗi đường. Từ đó cũng suy 1ra OM / / AH (Tính chất đường trung bình tam giác ADH ). Nối 2 GO OM 1AM cắt HO tại G thì nên G là trọng tâm của tam giác GH AH 2ABC .Cách 3: sử dụng định lý Thales :Trên tia đối GO lấy H sao choGH 2GO . Gọi M là trung điểm BC . Theo tính chất trọng Atâm thì G thuộc AM và GA 2GM .Áp dụng định lý Thales H Hvào tam giác GOM dễ suy ra G OAH / /OM (1).Mặt khác do O B C Mlà tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácABC , M là trung điểm BC nên OM BC (2).Từ (1) và (2) suy ra AH BC , tương tự BH CA . Vậy H H làtrực tâm tam giác ABC . Theo cách dựng H ta có ngay kết luận bài toán.Chú ý rằng: Nếu ta kéo dài AH cắt đường tròn tại H thì AH D = 900(Góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) nên EM là đường trung bình của tamgiác HHD suy ra H đối xứng với H qua BC . Nếu gọi O là tâm vòngtròn ngoại tiếp tam giác HBC thì ta có O đối xứng với O qua BC .Đường thẳng đi qua H,G,O được gọi là đường thẳng Euler của tamgiác ABC . Ngoài ra ta còn có OH = 3OG .THCS.TOANMATH.com*Đường thẳng Euler có thể coi là một trong những định lý quen thuộc nhấtcủa hình học phẳng. Khái niệm đường thẳng Euler trước hết liên quan đếntam giác, sau đó được mở rộng và ứng dụng cho tứ giác nội tiếp và cả n -giác nội tiếp, trong chuyên đề ta quan tâm đến một số vấn đề có liên quanđến khái niệm này trong tam giác.1.1. (Mở rộng đường thẳng Euler) Cho tam giác ABC . P là điểm bất kỳtrong mặt phẳng. Gọi A , B ,C lần lượt là trung điểm của BC ,CA, AB .G là trọng tâm tam giác ABC .a) Chứng minh rằng các đường thẳng qua A, B,C lần lượt song song vớiPA , PB , PC đồng quy tại một điểm HP , hơn nữa H P ,G, P thẳng hàng GH Pvà 2. GPb) Chứng minh rằng các đường thẳng qua A , B ,C lần lượt song song vớiPA, PB, PC đồng quy tại một điểm OP , hơn nữa OP ,G, P thẳng hàng vàGOP 1 .GP 2Giải:a) Ta thấy rằng kết luận của bài toán khá rắc rối, tuy nhiên ý tưởng của lờigiải câu 1 giúp ta tìm đến một lời giải rất ngắn gọn như sau:Lấy điểm Q trên tia đối tia GP sao Acho GQ 2GP . Theo tính chất trọng Q C B Hptâm ta thấy ngay G thuộc AA G P B Cvà GA 2GA . Vậy áp dụng định lý AThales vào tam giác GPA dễ suy ra AQ / /PA . ...