Những vấn đề cơ bản và ứng dụng của bất đẳng thức

AM‐GM hay còn có tên gọi là bđt Cô‐Si! Ứng dụng của bđt này rất đa dạng vàphương pháp sử dụng bđt này khá hiệu quả trong việc chứng minh các bài toán bđthai biến số hoặc ba biến số. Sau đây, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu những ích lợi của bđtđược xem là một công cụ mạnh này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Những vấn đề cơ bản và ứng dụng của bất đẳng thức HOÀNG NGỌC ANHTàiliệunàyđượcviếtdànhchocácbạnhọcsinhchuyênToán,Toán‐Tin,cácthầycôgiáodạyToánvàcácbạnsinhviênĐạihọc,CaoĐẳng,cácbạntrẻyêuToán. www.VNMATH.comVẤNĐỀ1:ỨNGDỤNGCỦABẤTĐẲNGTHỨCAM‐GMAM‐GMhaycòncótêngọilàbđtCô‐Si!Ứngdụngcủabđtnàyrấtđadạngvàphươngphápsửdụngbđtnàykháhiệuquảtrongviệcchứngminhcácbàitoánbđthaibiếnsốhoặcbabiếnsố.Sauđây,chúngtasẽcùngtìmhiểunhữngíchlợicủabđtđượcxemlàmộtcôngcụmạnhnày.Ví dụ 1. 1 www.VNMATH.com Vídụ2: 2www.VNMATH.com 3 www.VNMATH.com 4www.VNMATH.com 5www.VNMATH.com 6 www.VNMATH.com Vídụ3.(VõQuốcBáCẩn) 7www.VNMATH.com 8 www.VNMATH.com Vídụ4.TST‐2001 9www.VNMATH.com 10 www.VNMATH.com 11 www.VNMATH.com VẤNĐỀ2:BẤTĐẲNGTHỨCCAUCHY‐SCHWARZBấtđẳngthứcCauchy‐SchwarzhaycòncótêngọiquenthuộclàbấtđẳngthứcBunhiacôpxky,làmộtbấtđẳngthứcthườngápdụngtrongnhiềulĩnhvựckhácnhaucủatoánhọc,chẳnghạncótrongđạisốtuyếntínhdùngchocácvector,tronggiảitíchdùngchocácchuỗivôhạnvàtíchphâncủacáctích,tronglýthuyếtsácxuấtdùngchocácphươngsaivàhiệpphươngsai.Bấtđẳngthứcnàycórấtnhiềucáchchứngminh,nhưngtôikhôngđisâuvàophầnnàymàchỉkhaitháctriệtđểcôngdụngcủanó. 1. Những kĩ thuật sử dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng cộng mẫu sốBài toán 1: Cho a, b, c là các số thực dương. CMR: a2 + b2 + c2  a+b+c 2 b+c a+c a+bLời giải:Cách 1:Dùng bđt cauchy-schwarz dạng cộng mẫu số ta được a+b+c 2 VT  (a+b+c) = ĐPCM 2 2(a+b+c)Dấu “=” xảy ra khi a=b=c. 12 www.VNMATH.comCách 2: Dùng bđt Cô-si ta có a2 + b+c  a. Tương tự ta cũng có:b+c 4 b2 + a+c  ba+c 4 c2 + a+b  c. Cộng 3 bđt này lại ta được ĐPCM.a+b 4Dấu “=” xảy ra khi a=b=c.Tuy nhiên nhìn qua bđt ở đề bài, ta nên nghĩ ngay cách 1!Bài toán 2: CMR: Nếu a, b, c là các số thực dương thì a b c  1. (CSM-1999) + + b+2c c+2a a+2bLời giải:Khi đọc lướt qua bài trên ta cảm thấy không giống với dạng toán bài 1 vì trên tử không cóbình phương. Nhưng ta có thể giải quyết gọn gàng thông qua việc làm cho tử số của bài toánxuất hiện bình phương: 2 2 2Ta có: VT = a +b +c a(b+2c) b(c+2a) c(a+2b) (a+b+c)2Áp dụng bđt cộng mẫu số ta có: VT 3(ab+bc+ca) 2Đến đâ ...