Phép vi phân phân số yếu

Tương tự như giải tích cấp số nguyên cổ điển, giải tích cấp phân số cổ điển cũng bao gồm hai thành phần là đạo hàm cấp phân số và tích phân cấp phân số. Lý thuyết giải tích nghiên cứu tính chất, quy tắc và sự tác động lẫn nhau của phép đạo hàm và tích phân. Bài viết trình bày khái niệm đạo hàm cấp phân số yếu; Các nội dung liên quan độc giả có thể đọc thêm trong tài liệu tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phép vi phân phân số yếuKHOA HỌC CÔNG NGHỆ PHÉP VI PHÂN PHÂN SỐ YẾU Nguyễn Lê Hương* ABSTRACT The paper presents a new self-contained notation of a weak fractional differential calculus on one-dimension space. The notation is the generalization of the definition of weak integer order derivatives,improving the missing of classical fractional calculus such as fundamental theorem calculus, productand chain rules, integration by parts formulas…This new theory lays down a foundation for newfractional Sobolev space, fractional calculus of variation and fractional differential equations andtheir solutions. Keywords: Weak fractional derivatives, fractional differential calculus, fundamental theory ofcalculus, product and chain rules. Received: 10/01/2022; Accepted: 18/02/2022; Published: 15/03/2022 1. Đặt vấn đề một phương trình vi phân cấp số nguyên ta có thể Tương tự như giải tích cấp số nguyên cổ coi đạo hàm và nghiệm của phương trình là yếuđiển, giải tích cấp phân số cổ điển cũng bao gồm nhưng điều này không có được ở phương trìnhhai thành phần là đạo hàm cấp phân số và tích vi phân cấp phân số. Kết quả là, rất nhiều kháiphân cấp phân số. Lý thuyết giải tích nghiên niệm và lý thuyết không tương đương đang đượccứu tính chất, quy tắc và sự tác động lẫn nhau sử dụng trong phương trình vi phân cấp phân số,của phép đạo hàm và tích phân. Lý thuyết giải điều này có thể gây ra sự nhầm lẫn và sai sót chotích cấp phân số đã có một lịch sử rất lâu đời bài toán cấp phân số. Vì giới hạn một bài báo nênđược đánh dấu bởi các nhà toán học nổi tiếng tôi chỉ trình bày khái niệm đạo hàm cấp phân sốnhư Lopital (1695), Wallist (1697), Euler (1738), yếu trong mục 2, các nội dung liên quan độc giảLaplace (1812), Lacroix (1820), Fourier (1822), có thể đọc thêm trong tài liệu tham khảo.Abel (1823), Liouville (1832), Riemain (1847), 2. Nội dung nghiên cứuLeibniz (1853), Griinwald (1867), Letnikov 2.1. Phép vi phân phân số yếu(1868) và nhiều nhà toán học khác. Trong mục này nếu không giải thích gì thêm Hơn 20 năm trước, giải tích cấp phân số nhận thì trong mọi tình huống chúng ta đều hiểu tấtđược sự quan tâm chú ý của cộng đồng các nhà cả các tích phân là Lebesgue. Chúng ta sử dụngtoán học thuần túy cũng như cộng đồng các nhà ký hiệu ± Dα là đạo hàm trái và đạo hàm phải cổkhoa học ứng dụng. Ngày càng nhiều các mẫu điển cấp α . Ω là tập con của không gian mộtphương trình vi phân cấp phân số đã đưa ra mà chiều  . Trong trường hợp Ω =(a, b) , với bấtđược mô tả rõ nét hơn về các ảnh hưởng của yếu kỳ ϕ ∈ C0 (Ω) , ϕ là ký hiệu mở rộng không của ∞tố không gian cũng như thời gian. Giải tích phân ϕ lên  .số và phương trình vi phân phân số đã được tái 2.2. Đạo hàm cấp phân số yếusinh và kêu gọi được nhiều nghiên cứu. Mặc dù Cũng giống như đạo hàm cấp số nguyên, đạocó rất nhiều thành tựu trong hơn 20 năm qua, hàm cấp phân số yếu ± Dα u của hàm u được xácnhưng rất nhiều vấn đề cơ bản vẫn chưa được làm định là tác động lên hàm số có giá compact trơnrõ như các quy tắc giải tích cơ bản, quy tắc tích vàchuỗi, ý nghĩa vật lý và hình học của đạo hàm cấp ϕ ∈ C0∞ (Ω) .phân số và đặc trưng tính khả vi cấp phân số. Với Định nghĩa 2.1: Với α > 0 , ký hiệu [α ] là phần nguyên của α . Với u ∈ L1 (Ω) ,* Bộ môn Toán, Khoa Cơ sở cơ bản, trường ĐHHH Việt Nam Một hàm v ∈ L1loc (Ω) là đạo hàm cấp phân số70 TẠP CHÍ QUẢN LÝ VÀ CÔNG NGHỆ - Số 20 Quý 1/2022 KHOA HỌC CÔNG NGHỆyếu trái của u nếu Ta có thể thay thế Ω trong định nghĩa trên bằng ∫ u( x) D ϕ ( x)dx, ∀ϕ ∈ C0 (Ω) [ α]∫ v( x)ϕ ( x)dx =(−1) + α ∞ tập E bị chặn trong  và thay thế ϕ ∈ C0∞ (Ω) bằng ∩ {(c, d ) : E ⊂ (c, d )} ϕ ∈ C0∞ (a * , b* ) với (a * , b* ) =Ω Ω Ta viết D u := v; − α là khoảng nhỏ nhất chứa E. Một hàm w ∈ L1loc (Ω) là đạo hàm cấp phân số Mệnh đề 2.3: Cho u là khả vi Riemann-yếu phải của u nếu Liouville sao cho ± Dα u ∈ L1loc (Ω) thì đạo hàm yếu∫ w( x)ϕ ( x)dx =(−1) ∫ u( x) [α ] − Dα ϕ ( x)dx, ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω) cấp α của u bằng đạo hàm mạnh cấp α của u hầu khắp mọi nơi .Ω Ω Ta viết + Dα u := w. Mệnh đề sau cho thấy định nghĩa đạo hàm cấp ...