Bài toán Calderón trong hình tròn đơn vị

Xét bài toán điện não đồ, ta đo dòng điện trên bề mặt vỏ não để tìm bệnh của một người, ta quan tâm tới việc nếu tại hai thời điểm khác nhau cùng một người, nếu cho ta cùng dòng điện đo được trên bề mặt vỏ não thì có giúp cho chúng ta xác định được cùng một bệnh hay không? Hay nói cách khác, bài toán Calderón có duy nhất nghiệm hay không?.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài toán Calderón trong hình tròn đơn vịĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH Bài toán Calderón trong hình tròn đơn vị Nguyễn Thu Hiền 1 Phòng TTr & KĐCL, Trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh * Email: hientn123@gmail.com Mobile: 0862078861 Tóm tắt Từ khóa: Xét bài toán điện não đồ, ta đo dòng điện trên bề mặt vỏ Ánh xạ Dirichet-Neumann; Bài não để tìm bệnh của một người, ta quan tâm tới việc nếu tại hai thời toánCalderón; Tính dẫn  ; điểm khác nhau cùng một người, nếu cho ta cùng dòng điện đo được trên bề mặt vỏ não thì có giúp cho chúng ta xác định được cùng một bệnh hay không? Hay nói cách khác, bài toán Calderón có duy nhất nghiệm hay không? Cụ thể ta xét bài toán sau: Xét vật thể dẫn điện hình tròn B với tính dẫn  ( x) . Ta đặt một điện áp f lên B sẽ sinh ra một điện thế u trong B , thỏa mãn bài toán biên Dirichet .(u )  0 trong B, (1)   u  f trên B. Bài toán (1) có duy nhất nghiệm u  H 1 ( B) với mỗi 1 f  H 2  B  . Khi đó ta định nghĩa ánh xạ Dirichlet – Neumann 1 1   : H 2  B   H 2  B  được xác định bởi  f   vu B .  f biểu thị dòng điện đi ra theo hướng pháp tuyến trên B . Ánh xạ Dirichlet-Neumann hoàn toàn được xác định bằng phép đo đạc trên biên.1. GIỚI THIỆU Định lý 1.1. Cho B  B(0,1) và a Î (0,1), Xét bài toán Dirichlet trong hình e0 , M>0, N ³ 0 . Khi đó tồn tạitròn đơn vị B  B(0,1) .(u )  0 trong B, C=C(a,e0 , M , N ) sao cho  (1.1)  u  f trên B. La - Lb * ³ C ( a 0 - b 0 + a 1 - b1 ), Trong đó với ga , g b Î m(a, e0 , M , N ).  0  1(a  r ) , 0  r  a, r  x 2. CHỨNG MINH ĐỊNH LÝ 1.1  x    (1.2)  0 , a  r 1 Xét bài toán biên Dirichlet (1.1) với cácvới e £ a 0 £ M , 0 £ a 1 £ N . lớp tính dẫn được xác định tại (1.2) Trong tọa độ cực, nếuKý hiệu các tính dẫn như trên là u (x)= å un (r )einq Î H 1 (B), m(a, e0 , M , N ) . nÎ ¢ Trong bài báo này tôi chỉ ra cách thì phương trình trong (1.1) là:tính toán để tính được tường minh ánh xạ ìï 2 ïï (g u )+ g a u - n g a u = 0, n Î ¢ ,Dirichlet - Neumann, từ đó khôi phục lại ïï a n r n r2 nđược tính dẫn của vật . Khi đó tôi chỉ ra ïï í lim u n (r ) = lim+ u n (r ), (2.1)rằng ánh xạ L g a g là Lipschitz. Cụ thể ïï r ® a- r® a ïïhơn, kết quả chính mà tôi đưa ra như sau: ïï lim (g un )(r ) = lim+ (g un )(r ) r ® a- ïî r® a Giải hệ phương trình ta đư ...