Phương pháp Runge – Kutta cho hệ phương trình vi phân đại số

Cho một hệ phương trình vi phân đại số (DAEs) với hệ số biến thiên. Chuẩn logarit của ma trận cặp được xác định bởi .Khi phương pháp RK ổn định thì || An+1 xn+1|| không lớn hơn độ dài bước.Trong bài báo này chúng ta nghiên cứu một phương pháp RungeKutta.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp Runge – Kutta cho hệ phương trình vi phân đại sốNguyễn Văn MinhTạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ102(02): 39 - 43PHƯƠNG PHÁP RUNGE – KUTTA CHOHỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐNguyễn Văn Minh*Trường Đại học Kinh tế và Quản trị Kinh doanh – ĐH Thái NguyênTÓM TẮTCho một hệ phương trình vi phân đại số (DAEs) với hệ số biến thiên. Chuẩn logarit của ma trậnđược xác định bởi.Khi phương pháp RK ổn định thì || An+1 xn+1||cặpkhông lớn hơn độ dài bước.Trong bài báo này chúng ta nghiên cứu một phương pháp RungeKutta.Từ khóa:Phương pháp Runge-Kutta*Chúng ta xét các hệ có hệ số biến đổiVí dụ 1.Cho hệ DAEvới ma trậnsuy biến. Ký hiệuvàviệc tìm nghiệm của (1.1)bằng cách sử dụng phương pháp Runge-Kuttaẩn được đề xuất trong [2] làChùmchính quy (không suysuy biến.chính quy có chỉ số 1 nếu vàchỉ nếu chùmchính quy với chỉsố 1Sự hội tụ cho hệ DAEs có hệ số hằngTrong [4], đối với một phương pháp BDFbướcTrong đóCách tiếp cận khácĐể đưa ra cách tiếp cận mới cho các DAEs,chúng ta nhớ lại rằng nguồn gốc của côngthức Runge-Kutta là công thức cầu phươngchúng ta xét các giá trịđối vớivà các công thức cầuphươngChúng ta đưa ra một phương phápvới là nghiệm củalà giá trị gần đúng củaBiểu thức.*Chùmbiến) nhưng chùmTel: 0912 119767, Email: nvminh1954@gmail.comcác phương pháp bước cải biên được địnhnghĩa cho các DAE hệ số biến đổi tuyến tính(1.1) làVà do đó, phương pháp được đề xuất chophương pháp Euler ẩn (BDF1) trùng hợp vớicách tiếp cận mới cho các phương phápđược thực hiệnRunge-Kutta vớitrong bài báo này. Sựhội tụ được nghiên cứucho các DAE có thể chuyển sang hệ số hằng,tức là đối với các DAE tồn tại mộtkhả vikhông suy biến sao cho phép biến đổichuyển (1.1) sang một hệ hệ số hằngcó thể giải được. Các hệ như thế được đặctrưng bởi định lý sau đây.Định lý 3.1. Hệ (1.1) có thể biến đổi sang cáchệ số hằng khi và chỉ khi thỏa mãn hai điềukiện sau đây:39Nguyễn Văn Minha)Tạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆkhả nghịch trên I đốivới s nào đó, vàb)không đổi trên I.Nếu a) và b) đúng, chúng ta có thể chọnđểVìvậy,nếuchúngthutavàđượchệtrongđókíhiệutínhđến102(02): 39 - 43chỉ số dạng chuẩn tắc Kronecker làtrongđó và là các ma trận chính quy, vàlàlũy linh với bậc lũy linh là . Nếu chúng tanhân vớivà thực hiện phép đổi biếnchúng ta tách DAE tuyếntính hệ số hằng. Dạng chuẩn tắc Kroneckerchophép chúng ta tách (2.2) và (2.3) để thulà nghiệm số cho ODEđược. Vì vậy, nếu phươngpháp có bậc đối với các ODE, chúng ta có.cho các hệ có thểchuyển được (2.2) và (2.3) làNếu DAE có chỉ số 1 và có thể chuyển sanghệ số hằng, DAE mới cũng có chỉ số 1. Trongcác đề xuất sau đây, chúng ta đưa ra bậc saivớisốlà nghiệm củaTương ứng với việc lấy tích phân của DAE hệsố hằng tuyến tínhvới phương pháp mới. Trong trường hợp này,chúng ta thấy rằng nghiệm thu được trong(3.1) phù hợp với (3.2). Đối với trường hợpchỉ số 1, các DAE hệ số hằng được chuyểnđổi cũng có chỉ số 1. Nếu chúng ta tìm gầnđúng số (nghiệm gần đúng bằng phương phápsố)qua (14) và (13) quả thựcĐối với bất kỳ DAE nào, nếu chúng ta tìmđược gần đúng số qua,ta cóChúng ta nghiên cứu bậc hội tụ cho cácphương pháp mới áp dụng cho các DAE cóthể chuyển sang hệ số hằng. Đối với chùm40trong (3.3).Định lý 3.2. Xét một DAE hệ số hằng tuyếntính với chỉ sốNếu phương pháp RungeKutta có bậc đối các ODEs thì nghiệm số thuđược với phương pháp mới thỏa mãnChứng minh.Đối với bài toán chỉ số 1, chúngta có, đối với ma trận chính quy cho chúngta dạng chuẩn tắc KroneckerTừ đề xuất này và (3.3), chúng ta phát biểuđịnh lý sau đây.Định lý 3.3. Xét một DAE chỉ số 1 tuyến tínhcó thể chuyển sang hệ số hằng. Nếu phươngpháp Runge-Kutta có bậcđối với cácODE, thì nghiệm số thu được với phươngpháp mới qua phép chiếu (2.68) và (2.67)thỏa mãnĐối với các DAE chỉ số cao có thể chuyểnsang hệ số hằng, chúng ta có kết quả sau.Định lý 3.4. Xét một DAE (1.1) có thể chuyểnsang DAE hệ số hằng với chỉ số 1. Nếuphương pháp có bậcđối với các ODE, thìgiá trị gần đúng tính bằng phương pháp sốmớichothấyrằngvớiNguyễn Văn MinhvàTạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ102(02): 39 - 43Vớig (t , X ) = f (t ) − B (t ) X (t )là số nguyên lớn nhất sao choA = P R −1 , b = g R −1VớiSự coNhư đã được chỉ ra ở mục 1, mục tiêu củachúng ta là đưa ra những phương pháp tiếpcận mới để duy trì tính chất co của nghiệm số,và tương tự đối với nghiệm chính xác.Vớicách tiếp cận mới được đưa ra trong bài báonày, điều đó có thể được chứng minh dễ dàng.Định lý 4.1. Xét DAE thuần nhất (1.1) và giátrị gần đúngthu được qua (2.2) và(2.3). Nếu phương pháp Runge-Kutta ổn địnhlà một không gian con saođại số, vàcho cj 1P =  i ; i, j =1..2s; R = (cij−1); g =  , i, j =1..si  jĐịnh nghĩa 5.1 Giả sử un=x(tn), khi đóphương pháp hiệu chỉnh (3.1.1) được gọi làcó cấp chính xác bước là p và có cấp chínhxác nấc là q, nếu un-x(tn)=O(hp+1)vàx (tn + c i h ) − Xn ,i= O ( h q +1 )Từ đó ta có lược đồ tính toán song song RKsau đây:2s(m)X(0)ni, = xn +h∑vijg(tn−1 +cjh,Xn−1, j ), i =1...2s(3.5.14a)j=12sX(nim, ) = xn +h∑aijg(tn +cjh,Xn(k,−j1)), i =1...2s; j =1..mthì(3.5.14b)j=12sxn+1 = xn +h∑bjg(tn +cjh,Xn, j ),Chứng minh.Nếu kí hiệu(3.5.14c)j=1là các yếu tố (i, j)của , và theo định lý 4.2.2[5] chúng ta nhận đượcở đây m là số lần lặp. Ma trận V=(vij) đượcxác định theo điều kiện bậc2sx(tn + c i h) − y (tn ) − h∑ vij x(tn + (c j − 1) h) = O(h 2 s +1 )j =1Hoạt động của (3.5.14) như sau:Giả sử yn vàX n( m−1)đã tính được từ bướctrước, từ (3.5.14a) ta tính đượcX n(0),i ;thayvào (3.5.14b) và lặp theo k từ 1 đến m ta đượcX n( m, j) , từ đó tính được xn+1Tính toán song song cho hệ DAEPhát biểu phương pháp song songGiả sử có hai vector làT c=(c1,c2,…cs) vàc=(c1,...,cs,cs+1,...,c2s) =(c1,..cs,1+c1,...,1+cs)T,với c là vector trùng khớp Gauss-Legendre schiều. ...