Phương pháp số cho phương trình Helmholtz

Trong nghiên cứu này, chúng ta làm rõ hơn ở một số điểm về phương pháp số được đề cập đến trong bài báo của Vainikko, viết chương trình cho MATLAB nhằm tìm ra một số kết quả số minh họa, thông qua đó đưa ra một ý tưởng xấp xỉ khác và đánh giá sơ bộ về sai số, cho phương trình Lippmann – Schwinger, chính là dùng hệ đa thức Bernstein.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp số cho phương trình Helmholtz Năm học 2016 - 2017 PHƯƠNG PHÁP SỐ CHO PHƯƠNG TRÌNH HELMHOLTZ Lê Thị Minh Thảo (Sinh viên năm 4, Khoa Toán – Tin học) GVHD: TS Nguyễn Thành Nhân 1. Mở đầu Được nghiên cứu cách đây chưa lâu, nhưng phương trình Helmholtz thu hút được sự nhiều sự quan tâm, chứng minh tính chính quy của nghiệm và nhiều cách giải được đưa ra nhằm tìm lời giải số cho phương trình này. Một trong những cách đó là dùng định lí Green để đưa bài toán về phương trình tích phân Lippmann – Schwinger. Trong nghiên cứu này, chúng ta không nhắc lại toàn bộ nhưng làm rõ hơn ở một số điểm về phương pháp số được đề cập đến trong bài báo của Vainikko, viết chương trình cho MATLAB nhằm tìm ra một số kết quả số minh họa, thông qua đó đưa ra một ý tưởng xấp xỉ khác và đánh giá sơ bộ về sai số, cho phương trình Lippmann – Schwinger, chính là dùng hệ đa thức Bernstein. 2. Nội dung Bài toán tán xạ cho phương trình Helmholtz trong môi trường không đồng tính: Giả sử miền không đồng tính là trơn hoặc trơn từng khúc; đồng thời có giá compact chứa gốc tọa độ. Chỉ số khúc xạ b  n  , n  2 hoặc n  3 , b  x   1 bên ngoài miền không đồng tính; thỏa mãn b trơn hoặc trơn từng khúc. Bài toán được phát biểu như sau: n Tìm u :  ( n  2 hoặc n  3 ) thỏa mãn u  x    2b  x  u  x   0 , x  n , (1) u  ui  us , (2) n 1  u s  x lim r 2   i u s   0 đều, với  S  0,1 (3) r  x   r  x với   0 là số sóng. (3) được gọi là điều kiện bức xạ Sommerfeld. Có nhiều cách tiếp cận cho bài toán tán xạ này, ở đây ta nghiên cứu cách tiếp cận bằng đưa về phương trình tích phân. Áp dụng định lí Green, ta có hệ (1) – (3) suy ra phương trình tích phân Lippmann – Schwinger (tham khảo [2]) u  x   u i  x    2    x  y  a  y  u  y  dy (4) n 51 Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH với a  1  b trơn hoặc trơn từng khúc, và có giá compact, với  i 1  4 H 0  r  , n  2  r    ir , r 0 , (5)  1 e , n3  4 r H 0  là hàm cầu Hankel loại một bậc 0 có công thức H n1  jn  z   iyn  z  với 1 jn  z  là hàm cầu Bessel loại một và yn  z  là hàm cầu Bessel loại hai được tìm ra theo p jn  t  :  p   1 t n 2 p , p  0 2 p !1  3  2 n  2 p  1 p yn  t   2n  !   1 t 2 pn1 :   2n n ! p 0 2 p p ! 2n  1 2 n  3  2 n  2 p  1 . Mệnh đề 0.1. Nếu u  C 2   3 là một nghiệm của phương trình Helmholtz với điều kiện Sommerfeld, khi đó u là nghiệm của (4). Ngược lại, nếu u  C   3 là nghiệm của (4) khi đó u  C 2   và u là một nghiệm của phương trình Helmholtz. 3 Mệnh đề 0.2. Với mỗi k  0 phương trình Lippmann – Schwinger là giải được duy nhất nghiệm, hay nói cách khác, bài toán tán xạ là giải được duy nhất nghiệm. Sau đây, ta trình bày về nguyên lí chung của phương pháp số. Nguyên lí chung là, thay vì giải bài toán trong không gian vô hạn chiều, ta sẽ xấp xỉ không gian vô hạn chiều bởi một không gian hữu hạn chiều, nghiệm số chính là nghiệm có được khi giải bài toán trong không gian hữu hạn chiều. Quan trọng là không gian hữu hạn chiều sẽ rất gần với không gian vô hạn chiều khi số chiều dần ra vô cùng. Trong suốt báo cáo này, chúng ta sẽ thực hiện tìm nghiệm số theo phương pháp xấp xỉ sau: - Chọn một hệ cơ sở Hamel (hệ cơ sở đếm được) của hàm L2  GR  , GR là hì ...