Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên phần 4

Chương 2. Quá trình dừng Đặng Hùng ThắngQuá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007 Tr 64 -142. Từ khoá: Quá trình dừng, Hàm tự tương quan, Độ do phổ, mật độ phổ, Biểu diễn phổ, Tiếng ồn trắng, Trung bình trượt tích phân.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên phần 4Chương 2. Quá trình dừng Đặng Hùng Thắng Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007 Tr 64 -142.Từ khoá: Quá trình dừng, Hàm tự tương quan, Độ do phổ, mật độ phổ, Biểu diễnphổ, Tiếng ồn trắng, Trung bình trượt tích phân.Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mụcđích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấnphục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản vàtác giả.Chương 2Quá trình d ng 2.1 Quá trình d ng th i gian r i r c . . . . . . . . . 65 2.1.1 Hàm t tương quan . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.1.2 M t s dãy d ng quan tr ng . . . . . . . . . . . . 71 2.1.3 Đ đo ph và m t đ ph . . . . . . . . . . . . . . 86 2.1.4 Bi u di n ph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 2.1.5 Bài toán d báo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 2.1.6 Tính ch t ergodich . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 2.2 Quá trình d ng th i gian liên t c . . . . . . . . . 119 2.2.1 Hàm t tương quan, đ đo ph , bi u di n ph . . . 119 2.2.2 Ti ng n tr ng, trung bình trư t tích phân . . . . 124 2.2.3 Phương trình vi phân, d báo và tính ergodic . . . 130 2.3 Bài t p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Trong chương 1 ta đã nghiên c u s ti n tri n theo th i gian c a m t hth ng v t lý mà tương lai ch ph thu c vào hi n t i và đ c l p v i quá kh .2.1. Quá trình d ng th i gian r i r c 65Tuy nhiên trong th c t đ c bi t là trong các lĩnh v c kinh t , th trư ngch ng khoán, cơ h c th ng kê, khí tư ng thu văn... ta thư ng g p các hng u nhiên mà trong quá trình phát tri n tương lai không ch ph thu c vàohi n t i mà còn ph thu c c vào quá kh n a. Khi d báo cho tương lai c am t quá trình như v y chúng ta không ch quan tâm t i hi n t i mà còn ph iquan tâm t i quá kh c a h n a. Mô hình xác su t đ mô ta quá trình nhưv y g i là quá trình d ng. Ngày nay quá trình d ng đã tr thành m t trongnh ng lĩnh v c quan tr ng và có nhi u ng d ng cu Lý thuy t xác su t. Chương này đư c chia làm hai ph n. Ph n th nh t trình bày quá trìnhd ng v i th i gian r i r c. Ph n th hai trình bày các k t qu tương ngcho trư ng h p quá trình d ng v i th i gian liên t c. Tuy nhiên do khuônkh cu n sách trong ph n B chúng tôi t p trung vào vi c gi i thi u các kháini m, đ nh nghĩa. Các đ nh lý đư c nêu ra và gi i thích ý nghĩa, nêu ví dminh ho ch không ch ng minh chi ti t.2.1 Quá trình d ng th i gian r i r c2.1.1 Hàm t tương quanCho dãy (Xn ) các ĐLNN v i t p ch s n ∈ Z ={0, ±1, ±2, ...}. Khi đó ta nói(Xn ) là m t quá trình ng u nhiên v i th i gian r i r c. Ký hi u m(k ) = EXk , r(k, h) = cov(Xk , Xh ) = E (Xk − m(k ))(Xh − m(h)).Ta g i m(k ) là hàm trung bình còn r(k, h) là hàm t tương quan c a dãy.Đ nh nghĩa 2.1. (Xn ) đư c g i là m t quá trình d ng (còn g i là dãy d ngho c chu i th i gian) n u hàm trung bình là m t h ng s và hàm tương quanr(k, h) ch ph thu c vào hi u |k − h|. Như v y n u (Xn ) là m t quá trình d ng thì t n t i hàm K (h) xác đ nhtrên t p s nguyên Z sao cho v i m i n ∈ Z K (h) = cov(Xn+h , Xn ).66 Chương 2. Quá trình d ngHàm K (n) g i là hàm t tương quan (autocovariance function) c a dãy (Xn ).Ta có DXn = cov(Xn , Xn ) = K (0).Đ nh lý 2.1. Hàm t tương quan K (n) có các tính ch t sau 1. K (n) là m t hàm ch n K (n) = K (−n). 2. |K (n)| ≤ K (0), ∀n ∈ Z . 3. K (n) là m t hàm xác đ nh không âm trên Z t c là v i m i s nguyên dương n, v i m i s th c hay ph c a1, a2, ..., an ta có n n aiaj K (i − j ) ≥ 0 . i=1 j =1Ch ng minh. 1. Hi n nhiên do đ nh nghĩa. 2. Ta có theo b t đ ng th c Cauchy-Schwartz |K (n)|2 = |E (Xn − m)(X0 − m)|2 ≤ (DXn )(DX0 ) = |K (0)|2 . 3. n n n 0≤ D ai Xi = Cov aiXi , aj Xj = i=1 i=1 i=1 n n n n = bibj Cov[Xi , Xj ] = aiaj K (i − j ). i=1 j =1 i=1 j =1 Ngư c l i ta có k t qu sau (công nh n không ch ng minh):Đ nh lý 2.2. N u K ...