Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên phần 6

2.1. Quá trình d ng th i gian r i r c113Ch ng minh. Không gi m t ng quát gi s EXn = 0. Xét bi u di n ph c a XnπXn =−πeinλ dZ(λ) .Khi đó 1 n Đ t Sn (λ) = Ta có Sn (λ) = Do đó  1 1−einλ n(1−eiλ ) n−1 πX(k) =k=0 −π1 n 1 nn−1eikλ dZ(λ) .k=0n−1eikλ.k=0n uλ = 0 , n uλ = 0 1 n u λ = 0 , lim Sn (λ) = n→∞ 0 n uλ = 0 , lim Sn (λ) = I{0}(λ) .hayn→∞Vì |Sn (λ)|...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên phần 62.1. Quá trình d ng th i gian r i r c 113Ch ng minh. Không gi m t ng quát gi s EXn = 0. Xét bi u di n ph c aXn π einλ dZ (λ) . Xn = −π Khi đó n −1 n −1 π 1 1 eikλ dZ (λ) . X (k ) = n n −π k =0 k =0 Đt n −1 1 eikλ. S n ( λ) = n k =0 Ta có 1 n uλ = 0 , S n ( λ) =  1−einλ n uλ = 0 n(1−eiλ ) Do đó 1 n u λ = 0 , lim Sn (λ) = 0 n uλ = 0 , n→∞hay lim Sn (λ) = I{0}(λ) . n→∞Vì |Sn (λ)| ≤ 1 , ∀λ nên theo đ nh lý h i t b ch n ta có Sn (λ) h i t t iI{0}(λ) trongL2 ([−π, π ], µ) . V y n −1 π π 1 Xk = Sn (λ)dZ (λ) → I{0}(λ)dZ (λ) = Z ({0}) . n −π −π k =0theo nghĩa bptb. Quá trình d ng (Xn ) đư c g i là ergodic n u n −1 1 Xk → m n k =0114 Chương 2. Quá trình d ngtheo nghĩa bình phưong trung bình trong đó m = EXn . Nói cách khác (Xn )là ergodic n u trung bình th i gian h i t bptb t i trung bình theo t p h phay (Xn ) tuân theo lu t s l n. Đ nh lý sau dây cho ta đi u ki n c n và đ d (Xn ) là ergodic thông quađ đo ph c a nó.Đ nh lý 2.23. Quá trình d ng (Xn ) là ergodic khi và ch khi µ{0} = 0.Ch ng minh. T đ nh lý trên suy ra (Xn ) là ergodic khi và ch khi Z ({0}) =0 h.c.c. Mà E |Z ({0})|2 = µ{0}. Do đó Z ({0}) = 0 h.c.c khi và ch khiµ{0} = 0Đ nh lý 2.24. Gi s K (h) là hàm tương quan c a X (n) . Khi đó (Xn ) làergodic n u và ch n u n −1 1 lim K ( m) = 0 , n→∞ n m=0t c là K (n) → 0 theo nghĩa trung bình Cesaro khi n → ∞ . Đi u ki n đ đ(Xn ) ergodic là limn→∞ K (n) = 0 .Ch ng minh. Xu t phát t bi u di n ph c a K (h) π einλ dµ(λ) , K ( n) = −πtương t như trong ch ng minh đ nh lý 2.22 ta có n −1 π 1 K ( m) = Sn (λ)dµ(λ) . n m=0 −πThành th n −1 1 lim K (m) = µ({0}) . n→∞ n m=0Theo đ nh lý 2.23 ta có đi u ph i ch ng minh. Vì K (n) → 0 kéo theo K (n) → 0 theo nghĩa trung bình Cesaro khin → ∞ nên ta có đi u ki n đ đ (Xn ) ergodic là limn→∞ K (n) = 02.1. Quá trình d ng th i gian r i r c 115 Đ nh lý 2.22 là m t trư ng h p riêng c a đ nh lý ergodic trung bình chotoán t unita do nhà toán h c M Von Neuman tìm ra.Đ nh lý 2.25. Cho H là không gian Hilbert và T : H → H là toán t tuy ntính b o toàn tích vô hư ng < T f, T g >=< f, g > ( T đư c g i là m t toánt unita). Khi đó v i m i f ∈ H t n t i n −1 1 ˆ T kf = f . lim ...