Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên phần 8

Tham khảo tài liệu quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên phần 8, khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Quá trình ngẫu nhiên và tính toán ngẫu nhiên phần 8168 Chương 3. Quá trình MartingaleTa có {T = n} = {r1 = −1, ..., rn−1 = −1, rn = 1} ∈ Fnvà P (T = n) = (1/2)n . V y P (T < ∞) = 1 và T là th i đi m d ng. Tacó XT = 1 do đó EXT = 1 trong khi EXn = EX0 = 0 v i m i n. V yEXT = EX0 . V y tính ch t martingale không đư c b o toàn qua phép thayth th i đi m d ng này. Ta cũng th y đi u ki n (3.3) trong đ nh lý 3.9 b viph m. Th t v y 2n − 1 |Xn |dP = (2n − 1)P {T > n} = → 1, khi n → ∞. 2n {T >n}Như v y m c dù trò chơi là công b ng n u s ván chơi đư c n đ nh trư c.Tuy nhiên n u s ván chơi không n đ nh trư c nhưng ngư i chơi A v n cóchi n lu c chơi (chi n lư c khát nu c: tăng g p đôi s ti n cư c sau m i vánthua và d ng chơi khi th ng) đ luôn ch c ch n thu lãi 1 đô la. Nhưng mu nv y A ph i có s v n vô h n, đư c quy n đ t cư c theo ý mình và d ng chơib t c lúc nào anh ta mu n. Đó là m t đi u không hi n th c.Đ nh lý 3.14. Cho (Xn ) là m t martingale đ i v i (Fn ) và T là th i đi md ng v i ET < ∞. Gi s r ng t n t i h ng s C > 0 sao cho v i m i ntrên t p {T ≥ n} ta có E |Xn+1 − Xn | Fn ≤ C.Khi đó E |XT | < ∞, và EXT = EX0 . nCh ng minh. Đ t Y0 = X0 , Yi = |Xi − Xi−1 . Khi đó |Xn | ≤ Yi . Suy ra i=0 T T |XT | ≤ Y i → E | XT | ≤ E Yi . i=0 i=03.2. Martingale th i gian r i r c 169Ta có T T E Yi = Yi dP Ω i=0 i=0 ∞ n ∞ n = ( Yi )dP = Yi dP n=0 {T =n} i=0 {T = n } n=0 i=0 ∞∞ ∞ = Yi dP = Yi dP. {T = n } {T ≥ i } i=0 n=i i=0Vì {T ≥ i} = Ω {T < i} ∈ Fi−1 nên Yi dP = E (Yi |Fi−1 )dP ≤ CP (T ≥ i). {T ≥ i } {T ≥ i }Vy T ∞ E | XT | ≤ E Yi ≤C P (T ≥ i) = CET < ∞. i=0 i=0 n TTi p theo trên {T > n} ta có Yi ≤ Yi do v y i=0 i=0 n |Xn |dP ≤ ( Yi )dP {T >n} {T >n} i=0 T ≤ ( Yi )dP → 0 khi n → ∞ {T >n} i=0 Tvì như đã ch ng minh E Yi < ∞. Theo đ nh lý 3.6 ta có EXT = i=0EX0 .H qu 3.2 (H ng đ ng th c Wald). Cho (Yn ) là dãy các ĐLNN đ c l pcó cùng phân b có kỳ v ng h u h n. G i Fn là sig -trư ng sinh b i Y1 , ..., Yn .Gi s T là m t th i đi m d ng đ i v i Fn tho mãn ET < ∞. Khi đó T E Yi = (ET )(EY1). i=1170 Chương 3. Quá trình MartingaleN u DYn < ∞ thì 2 T E Yi − T µ = (ET )(DY1 ). i=1Ch ng minh. Đ t Yn = Yn − µ đó µ ...