Sử dụng bất đẳng thức Karamata khảo sát bất đẳng thức trong tam giác

Bài viết "Sử dụng bất đẳng thức Karamata khảo sát bất đẳng thức trong tam giác" giới thiệu Bổ đề trội và ứng dụng của Bổ đề trội trong chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Sử dụng bất đẳng thức Karamata khảo sát bất đẳng thức trong tam giác Hội thảo khoa học, Hưng Yên 25-26/02/2017SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC KARAMATA KHẢO SÁT BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC Vũ Văn Thưởng THPT Yên Dũng số 3, Bắc Giang Tóm tắt nội dung Báo cáo giới thiệu Bổ đề trội và ứng dụng của Bổ đề trội trong chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác. 1 Mở đầu Khái niệm trội được đưa ra để so sánh hai phần tử (hai vectơ) trong không gian Rn . Khái niệm này là cơ sở của lý thuyết trội, được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực, xem, thí dụ, [9]. Khái niệm trội được áp dụng khá thành công trong chứng minh các bất đẳng thức, đặc biệt là bất đẳng thức trong tam giác, xem [8], [9], [10]. Có thể nói, bất đẳng thức Karamata (xem, thí dụ, [1], [3], [5], [6], [7]) cũng là bất đẳng thức trội. Khái niệm trội cũng khá gần với một số ý tưởng về sắp thứ tự tam giác, xem, thí dụ, [2]. Bất đẳng thức Karamata đã được đề cập đến trong [1], [3], [5], [6], và đã được khai thác trong [7] để chứng minh các bất đẳng thức lượng giác và hình học. Bất đẳng thức trội đã được vận dụng trong [8] để chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác trong [8]. Bài viết Sử dụng Bổ đề trội chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác có mục đích minh họa khả năng sử dụng khái niệm trội và bất đẳng thức trội (Bổ đề trội) trong chứng minh, cải tiến và làm mới các bất đẳng thức trong tam giác. Theo chúng tôi, đây là một kĩ thuật còn chưa được quan tâm nhiều nhưng có ý nghĩa khoa học và thực tiễn, có thể khai thác sử dụng trong giảng dạy toán sơ cấp. Bài viết gồm phần Mở đầu (Mục 1), Kết luận và hai Mục chính. Mục 2 trình bày các khái niệm cơ bản: khái niệm trội, hàm lồi Shur, bất đẳng thức trội. Mục 3 trình bày ứng dụng của bổ đề trội và hệ quả của nó trong chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác. Qua đây có thể thấy được thế mạnh của bất đẳng thức trội trong chứng minh nhiều bài toán về bất đẳng thức trong tam giác. Ngoài ra, Mục 3 cũng nhắc đến ứng dụng của bất đẳng thức trội trong chứng minh các bất đẳng thức nói chung và so sánh với các phương pháp chứng minh bất đẳng thức khác. 270 Hội thảo khoa học, Hưng Yên 25-26/02/20172 Bổ đề trộiĐịnh nghĩa 1. Cho a = ( a1 , . . . , an ) và b = (b1 , . . . , bn ) là hai vectơ trong không gianRn . Các tọa độ ai và bi , i = 1, 2, . . . , n được sắp thứ tự như sau: a1 ≥ a2 ≥ · · · ≥ an ,b1 ≥ b2 ≥ · · · ≥ bn .  nói a trội hơn b (a majorizes b) và viết a b nếu Ta   a1 ≥ b1 ; a1 + a2 ≥ b1 + b2 ;    .... Ta cũng nói b bị trội bởi a a + a + · · · + a ≥ b + b + · · · + b ;  1 2 n − 1 1 2 n − 1    a1 + a2 + · · · + an−1 + an = b1 + b2 + · · · + bn−1 + bn . (b majorized by a) và viết b ≺ a. 1Nhận xét 1. Gọi a, b, c (a ≥ b ≥ c) là ba cạnh của tam giác ABC, s = ( a + b + c) là nửa 2 2s 1chu vi, a¯ = = ( a + b + c) là trung bình cộng của ba cạnh. 3 3 Đặt s1 = − a + b + c ; s2 = a − b + c ; s3 = a + b − c. Khi ấy: 1) ( a¯ , a¯ , a¯ ) ≺ ( a, b, c) ≺ (s, s, 0) với mọi tam giác. s s 2) ( a¯ , a¯ , a¯ ) ≺ ( a, b, c) ≺ s, , với mọi tam giác cân (b = c). 2 2Chứng minh. 1 a+a+a 2a + 2b + 2c 2a + 2b + c + c 1) Ta có: a¯ = ( a + b + c) ≤ = a; a¯ + a¯ = = ≤ 3 3 3 32a + 2b + a + b = a + b; a¯ + a¯ + a¯ = 3.a¯ = a + b + c. Do đó: ( a¯ , a¯ , a¯ ) ≺ ( a, b, c) . 3 a+b+c Ta lại có: a < b + c ⇒ a + a < a + b + c ⇒ 2a < a + b + c ⇒ a < = s; 20 < c ⇒ a + b < a + b + c = 2s = s + s; a+b+c a+b+c a+b+c = + = s + s + 0. 2 2 Do đó ( a, b, c) ≺ (s, s, 0) . Vậy ( a¯ , a¯ , a¯ ) ≺ ( a, b, c) ≺ (s, s, 0) . 2) Với tam giác cân (b = c) ta có: a < b + c ⇒ a < 2c ⇒ a + b < 2c + b ⇒ a + b < 3c ⇒ 4a − 3a + 4b − 3b < 3c ⇒ 4a + 4b < 3a + 3b + 3c 3 3s s ⇒ a + b < ( a + b + c) ⇒ a + b < ⇒ a+b < s+ ; 4 2 2 a+b+c a+b+c a+b+c s s a+b+c = + + = s+ + . 2 4 4 2 2 s s Do đó ( a, b, c) ≺ s, , ...