Tài liệu chuyên đề Bất đẳng thức Hình học

Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu "Bất đẳng thức Hình học" được chúng tôi sưu tầm, chọn lọc gửi đến các bạn với mong muốn các em học sinh sẽ nắm vững được kiến thức về bất đẳng thức Hình học, biết sử dụng các tính chất hình học để giải các bài toán,... Chúc các em học tập thật tốt nhé!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tài liệu chuyên đề Bất đẳng thức Hình học BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌCI). SỬ DỤNG CÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐƠN GIẢN.1) Bất đẳng thức liên hệ giữa độ dài các cạnh một tam giác. AB AC BC AB BCChú ý rằng:a). Với 3 điểm A, B,C bất kỳ ta luôn có: AB BC AC . Dấu bằng xảyra khi và chỉ khi A, B,C thẳng hàng và điểm B nằm giữa hai điểm A,C .b) Với 3 điểm A, B,C bất kỳ ta luôn có: AB AC BC . Dấu bằng xảyra khi và chỉ khi A, B,C thẳng hàng và điểm B nằm giữa hai điểm A,C .c) Cho hai điểm A, B nằm về một phía đường thẳng (d ) . Điểm M chuyểnđộng trên đường thẳng (d ) . Gọi A là điểm đối xứng với A qua (d ) . Ta cókết quả sau: B A M0 (d) M1 M A+ MA MB MA MB A B . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M làgiao điểm cuả A B và đường thẳng (d ) .( M trùng với M0 )THCS.TOANMATH.com+ MA MB AB . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm cuảAB và đường thẳng (d ) ( M trùng với M1 ).d) Cho hai điểm A, B nằm về hai phía đường thẳng (d ) . Điểm M chuyểnđộng trên đường thẳng (d ) . Gọi A là điểm đối xứng với A qua (d ) . Ta cókết quả sau: B A M0 (d) M1 M A+ MA MB AB . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm cuảAB và đường thẳng (d ) .( M trùng với M0 )+ MA MB MA MB A B . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M làgiao điểm cuả A B và đường thẳng (d ) ( M trùng với M1 ).e) Trong quá trình giải toán ta cần lưu ý tính chất: Đường vuông góc luônnhỏ hơn hoặc bằng đường xiên. ATrong hình vẽ: AH AB H BTHCS.TOANMATH.com2) Trong một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất3) Cho đường tròn (O; R) và một điểm A . Đường thẳng AO cắt đườngtròn tại hai điểm M1, M2 . Giả sử AM1 AM 2 . Khi đó với mọi điểm Mnằm trên đường tròn ta luôn có: AM1 AM AM 2Ví dụ 1:Cho tam giác ABC và điểm M nằm trong tam giác . Chứng minhrằng: a) MB MC AB AC 1 b) AB BC CA MA MB MC AB BC CA 2 c) BM MN NC AB AC trong đó điểm N nằm trong tam giác sao cho MN cắt hai cạnh AB, AC AHướng dẫn giải: a) Đường thẳng BM cắt AC ở P . P N FÁp dụng BĐT(1) ta có: M EMB MC MB MP PC B C BP PC AB AP PC AB AC b) Theo trên ta có:BC MB MC AB AC ;CA MC MA AB BC ;AB MA MB AC BC . Cộng theo từng vế các BĐT trên ta cóđiều phải chứng minh.THCS.TOANMATH.com c) Áp dụng câu 1) ta có: BM MN NC BE EM MN NF FC BE EF FC BE EA AF FC AB AC .Ví dụ 2: Cho tam giác ABC và 3 trung tuyến AM , BN ,CP . Chứng minhrằng: AB AC BC AB AC a) AM 2 2 3 AB BC CA b) AM BN CP AB BC CA 4 c) Giả sử AB AC . Gọi AD, AM theo thứ tự là đường phân giác, đường trung tuyến của tam giác ABC . Chứng minh rằng: AB AC BC AB AC AD AM 2 2Hướng dẫn giải: B Da). + Xét các tam giác MAB, MAC ta có: MAM AB BM , AM AC MCSuy ra 2AM AB AC (MC MC ) A C 2AM AB AC BC+ Gọi D là điểm đối xứng với A qua M thì ABDC là hình bình hành nênAB CD và AD 2AM . Trong tam giác ACD ta có:AD AC CD 2AM AB AC AB AC BC AB ACNhư vậy: AM . 2 ...