Tài liệu môn Toán lớp 10: Chủ đề 6 - Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki

Tài liệu Toán lớp 10: Chủ đề 6 - Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki được biên soạn nhằm hướng dẫn cho các em học sinh áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki (tên gọi chính xác là bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki – Schwarz) chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN – GTNN (giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất). Hy vọng sẽ giúp ích cho quý thầy cô và các em trong quá trình giảng dạy và học tập của mình.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tài liệu môn Toán lớp 10: Chủ đề 6 - Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki Chủ đề 6 MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKIA. Kiến thức cần nhớ1. Giới thiệu bất đẳng thức Bunhiacopxki Bất đẳng thức Bunhiacopxki có tên gọi chính xác là bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacopxki –Schwarz, đây là một bất đẳng thức do ba nhà toán học độc lập phát hiện và đề xuất, nó có nhiều ứng dụngtrong các lĩnh vực toán học. Ở nước ta, để cho phù hợp với chương trình sách giáo khoa, trong tài liệu nàychúng ta cũng sẽ gọi nó là bất đẳng thức Bunhiacopxki, gọi theo tên nhà Toán học người NgaBunhiacopxki. Đây là một bất đẳng thức cổ điển nổi tiếng và quen thuộc đối với phần lớn học sinh nước ta. Nóứng dụng rất nhiều trong các bài toán về bất đẳng thức và cực trị. Trong phạm vi chương trình ToánTHCS, chúng ta cũng chỉ quan tâm đến các trường hợp riêng của bất đẳng thức Bunhiacopxki.2. Các dạng biểu diễn của bất đẳng thức Bunhiacopxkia. Dạng tổng quát+ Cho hai dãy số tùy ý a1; a 2 ; a 3 ; ...; a n và b1; b2 ; b3 ; ...; b n . Khi đó ta có:   b  b  ...  b   a b  a b  ...  a b  2Dạng 1: a12  a 22  ...  a 2n 2 1 2 2 2 n 1 1 2 2 n nDạng 2: a 2 1  a 22  ...  a  b  b  ...  b   a b  a b  ...  a b 2 n 2 1 2 2 2 n 1 1 2 2 n n a1 a 2 a- Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 1 và dạng 2 là:   ...  n b1 b2 bnDạng 3: a 2 1  a 22  ...  a 2n  b 2 1   b22  ...  b2n  a1b1  a 2b2  ...  a n bn a1 a 2 a- Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 3 là:   ...  n  0 b1 b2 bnDạng 4: Cho hai dãy số tùy ý a1; a 2 ; ...; a n và x1; x 2 ; ...; x n với x1; x 2 ; ...; x n  0   2 a12 a 22 a2 a1  a 2  ...  a nKhi đó ta có   ...  n  x1 x 2 xn x1  x 2  ...  x n a1 a 2 a- Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 4 là:   ...  n  0 x1 x 2 xn Trong các dạng trên thì bất đẳng thức dạng 1, dạng 2, dạng 3 gọi là các bất đẳng thứcBunhiacopxki dạng cơ bản và bất đẳng thức dạng 4 còn được gọi là bất đẳng thức Bunhiacopxki dạngphân thức.b. Một số dạng đặc biệt n2 n3 a  x    a  x    2 2 2  b2 2  y2  ax  by 2 ...