Thay đổi thế giới với 17 phương trình: Phần 2

Tiếp nối phần 1, tài liệu Thay đổi thế giới với 17 phương trình phần 2 sẽ tiếp tục mang đến cho các bạn một cái nhìn mới mẻ về vẻ đẹp toán học thông qua các phương trình như: Phương trình Navier-Stokes, phương trình Maxwell, phương trình Schrodinger, phương trình Black-Scholes. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Thay đổi thế giới với 17 phương trình: Phần 29Gợn sóng và đốm sángPhép biến đổi Fouriervô cùngphép biến đổihàm sốtần số2,718...3,141...căn bậc haicủa −1hàm sốf( )=∞−∞f (x)e–2 πix dxkhông giantích phânâm vô cùngtần sốPhương trình này cho ta biết điều gì?Bất kỳ hình mẫu dao động nào trong không gian vàthời gian đều có thể xem là chồng chất của các hìnhmẫu dạng sin với các tần số khác nhau.Tại sao nó lại quan trọng?Các thành phần tần số có thể được sử dụng để phântích các hình mẫu, tạo nên các hình mẫu để tìm cácđặc điểm quan trọng và bỏ đi các ồn nhiễu ngẫu nhiên.Nó đã dẫn tới những gì?Kỹ thuật của Fourier được sử dụng rất rộng rãi,chẳng hạn, trong xử lý ảnh và cơ học lượng tử. Nóđược sử dụng để tìm kiếm cấu trúc của các phân tửsinh học lớn như ADN, để nén dữ liệu ảnh trong cácbức ảnh kỹ thuật số, để làm sạch các bản thu âmcũ kỹ hoặc bị hư hỏng, và còn để phân tích các trậnđộng đất nữa. Các biến thể hiện đại được sử dụngđể lưu trữ dữ liệu về dấu vân tay hiệu quả hơn và đểcải thiện các phép chụp chiếu trong y tế.Cuốn Những nguyên lý của Newton đã mở ra cánh cửa chonhững nghiên cứu toán học về tự nhiên, nhưng nhữngngười đồng hương của ông đã quá bận tâm tới cuộc tranh luậnvề chuyện ai là người được hưởng quyền sở hữu trí tuệ của phéptính vi tích phân để có thể tìm ra những thứ nằm bên ngoài nó.Trong khi những bộ óc tinh tế nhất của nước Anh đang sôi sùngsục lên với thứ mà họ đã biết là những luận điệu đáng hổ thẹnvề nhà toán học vĩ đại nhất còn đang sống của đất nước – hầuhết trong số đó có lẽ cũng là lỗi lầm của chính Newton, bởi ôngnghe theo những người bạn có thiện chí nhưng kém hiểu biết– thì những đồng nghiệp ở châu lục đã mở rộng những ý tưởngcủa Newton về các định luật của tự nhiên tới hầu hết các ngànhtrong khoa học vật lý. Phương trình sóng xuất hiện và nhanhchóng theo sau là các phương trình tương tự về hấp dẫn, tĩnhđiện, đàn hồi và dòng nhiệt. Một số mang tên của những ngườikhám phá ra chúng, như phương trình Laplace, phương trìnhPoisson. Nhưng phương trình cho nhiệt thì không; nó mangmột cái tên rất nôm na và không hoàn toàn chính xác: “phươngtrình nhiệt”. Phương trình này do Joseph Fourier đề xuất, vànhững ý tưởng của ông đã dẫn tới việc sản sinh ra một lĩnh vựcmới của toán học mà những phân nhánh của nó đã tỏa rộng rarất nhiều so với ban đầu. Những ý tưởng này có lẽ đã được khởiphát từ phương trình sóng, nơi mà những phương pháp tươngtự đã thấp thoáng xuất hiện trong ý thức tập thể của cộng đồngtoán học, nhưng lịch sử chọn nhiệt.Gợn sóng và đốm sángPhương pháp mới đã có một khởi đầu đầy hứa hẹn: năm1807, Fourier đã gửi một bài báo về dòng nhiệt cho Viện Hànlâm Khoa học Pháp, dựa trên một phương trình đạo hàmriêng mới. Mặc dù, cơ quan đầy uy tín này từ chối cho đăngcông trình đó, nhưng nó đã thúc đẩy Fourier phát triển xahơn ý tưởng của mình và thử lại một lần nữa. Vào thời đó,Viện Hàn lâm hằng năm có giải thưởng cho những nghiêncứu về bất kỳ chủ đề nào mà họ cho là đủ thú vị, và họ chọnchủ đề về nhiệt cho giải thưởng năm 1812. Fourier đệ trìnhđúng lúc công trình đã chỉnh sửa và mở rộng của mình và đãgiành được giải thưởng. Phương trình truyền nhiệt của ôngcó dạng:trong đó u(x, t) là nhiệt độ tại vị trí x của một thanh kim loạitại thời điểm t, với giả thiết rằng thanh này là vô cùng mảnh,và α là một hằng số gọi là hệ số khuếch tán nhiệt, do vậy lẽ ranên gọi nó là phương trình nhiệt độ. Ông cũng phát triển mộtphiên bản có số chiều cao hơn:đúng cho bất kỳ miền xác định nào cho trước trong mặtphẳng hoặc không gian.Phương trình truyền nhiệt giống phương trình sóng mộtcách kỳ lạ, chỉ có một khác biệt quan trọng. Phương trìnhsóng sử dụng đạo hàm cấp hai theo thời gian:, nhưngtrong phương trình truyền nhiệt nó được thay thế bởi đạohàm cấp một. Đây dường như chỉ là một sự thay đổinhỏ, nhưng ý nghĩa vật lý thì lại rất lớn lao. Nhiệt không duytrì vô hạn định, như một dây đàn violin có thể dao động mãi23924017 phương trình thay đổi thế giớimãi (theo phương trình sóng, không có ma sát hay dao độngtắt dần). Thay vì thế, nhiệt tiêu tán, mất dần theo thời gian,trừ phi có nguồn nhiệt nào đó liên tục bổ sung cho nó. Nhưvậy, bài toán điển hình ở đây là: đốt nóng một đầu của thanhkim loại để giữ nó ở một nhiệt độ ổn định và làm lạnh đầu kiamột cách tương tự để xem nhiệt độ biến thiên dọc theo thanhsẽ như thế nào khi nó được đặt trong trạng thái dừng. Câu trảlời là nhiệt sẽ giảm dần theo hàm mũ. Một bài toán điển hìnhkhác, đó là chỉ định profin (profile) nhiệt độ ban đầu dọc theothanh và xem nó biến thiên thế nào theo thời gian. Có lẽ nênđể cho một nửa thanh ban đầu ở nhiệt độ cao và nửa kia ởnhiệt độ thấp hơn; phương trình sẽ cho ta thấy nhiệt truyềnthế nào từ phần nóng hơn sang phần lạnh hơn.Có lẽ khía cạnh hấp dẫn nhất trong bài báo giành giảithưởng của Fourier không phải là phương trình, mà là cáchông giải nó. Nếu profin nhiệt độ ban ...